不严格平行的平板电容器电容的计算

王奕润 胡珍妮 任文辉

摘要：平行板电容器电容的计算是大家熟知的，但实际上两板都不会严格平行，本文给出三种计算不严格平行的平板电容器电容的计算方法。

关键词：电容器；串联；并联

本文对图1所示的电容器，两极板都是边长为a的正方形金属平板，两板不严格平行，最小间距为d，夹角为θ，当θ<

方法1：利用电容器并联公式计算

如图2所示，把电容器看作大量與图面垂直的

细狭条的电容器元并联而成的，其中任意电容器

元的电容（注意：θ很小，tanθ≠θ）

dC=ε0dsd'=ε0adxd+xθ

总电容C=∫dC=ε0aθln（1+aθd）

由于ad是常数，θ很小，则aθd<<1，上式按

麦克劳林级数展开得C=ε0a2d（1-aθ2d）。

方法2：利用电容器串联公式计算

如图3所示，加上一块相同的极板，极板1

和极板2构成电容为C的电容器，极板2和

极板3构成电为C的电容器.极板1和极板3

完全平行，构成电容为C′的电容器，由平行板电

容器计算公式得C'=ε0a22d+aθ，C′是由两个电

容为C的电容器串联而成，根据电容器串联的

计算公式，又aθ2d<<1，用麦克劳林级数

展开可得C=ε0a2d（1-aθ2d）。

方法3：利用电容器定义

设电容器带电量Q，两极板电势差为

U，两极板延长面交线O轴，如图4所示，

由静电场回路定律可知，两极板近端电场线比远端密，在离O轴r处场强E=Urθ，则电荷密度为σ=ε0E=ε0Urθ，两极板电量Q=∫σds=∫r0+ar0ε0Urθ=ε0aUθln（1+aθd）aθd<<1，按麦克劳林级数展开，根据电容定义式得C=ε0a2d（1-aθ2d）。

三种解法结果相同。若极板严格平行，则θ=0，C=ε0a2d。

参考文献：

[1]同济大学数学系，高等数学.北京：高等教育出版社，1978：285.

[2]严导淦，王晓鸥.大学物理学.北京：机械工业出版社，2012：184.

作者简介：王奕润（1970），女，甘肃天水人，教育硕士，中级，研究方向：物理与高等数学教学研究，新工科教学研究。