一道高考试题的解析与感悟

王在方

6.圆锥曲线极点和极线的视角

极点与极线是射影几何中研究圆锥曲线内在性质的基本理论，各地的高考试题中以此为背景的题目屡见不鲜.虽然在高考课标中没有要求，但作为圆锥曲线的一种基本特征，教师了解一些极点、极线理论，可以从较高的观点去把握试题，有利于中学教学.对于学生，掌握一些基本的结论，有利于降低一些圆锥曲线大题的计算难度，对有些圆锥曲线小题，会有非常简洁的处理方法，在高考过程中能节约宝贵的考试时间.

（1）圆锥曲线极点和极线的定义：已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线。

（2）极点和极线的基本结论

定理2 ①当在圆锥曲线上时，则极线是曲线在点处的切线；（限于篇幅，证明略）

②当在圆锥曲线外时，则极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）。（限于篇幅，证明略）

③当在圆锥曲线内时，则极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹。（限于篇幅，证明略）

定理3 设为抛物线的焦点弦，则过切点，的的切线的交点轨迹是它的准线；反过来，由抛物线的准线上任一点引抛物线的两切线，切点为、，则为焦点弦。

定理4 抛物线的两条互相垂直切线的交点的轨迹是它的准线；反过来，由抛物线的准线上任一点引抛物线的两条切线互相垂直。

解法⑦：由已知，为焦点弦，在准线上，又，可得、是抛物线的两条切线，所以极线为，即，所以。

二、解法評析

解法①②综合利用向量，直线与圆锥曲线位置关系，通过联立方程，韦达定理建立直线斜率的方程，得到，方法常规简单，易于想到，属于通性通法，但计算量偏大；解法①与解法②主要区别在直线方程的设法，主要考虑抛物线的开口方向，在很多问题中，计算量有明显差距；解法③利用抛物线的定义，梯形的性质，三角形全等的证明得到，从而得到，计算量非常小，但平面几何的知识要求较高；解法④是平面几何与解析几何的综合运用，是解法②③的综合；解法⑤利用抛物线以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切的结论直接得出，从而解出，大量的减少了论证过程；解法⑥运用圆锥曲线中点弦问题中的点差法，通过两个方程相减，得到直线斜率与弦中点坐标间的关系，即，再由解法⑤可得，从而快速的出；解法⑦运用极点与极线的理论，一步可以得出答案，这是最快的一种方法。.