《求数列的通项公式》教学设计

冯小军

【考纲要求】

1.熟练掌握求通项公式的几种常用方法.

2.了解数列通项公式的作用和应用价值.

【命题方向预测】

数列的通项公式的考查在高考中主要考查利用 和 的关系求通项 ，以选择、填空题为主，较为简单，若涉及递推公式常为解答题，属中等难度题目.

一、题之源：课本基础知识

1.通项公式：如果数列{an}的与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

2.数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

3.数列前n项和Sn与an的关系

已知Sn，则an=Sn-Sn-1（n≥2），（S1（n=1），）

4.等差数列的通项公式

若{an}是等差数列，则其通项公式an= ，

5.等比数列的通项公式 若{an}是等比数列，则通项an=

二、题之本：思想方法技巧

1.已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：

（1）如果符号正负相间，则符号可用（-1）n或 （-1）n+1来调节.

（2）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.

（3）对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.

此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠觀察（观察规律）、比较（比较已知的数列）、归纳、转化（转化为等差、等比或其他特殊数列）等方法来解决.

2.an=Sn-Sn-1（n≥2），（S1（n=1），）注意an=Sn-Sn-1的条件是n≥2，还须验证a1是否符合an（n≥2），

是则合并，否则写成分段形式.

3.等差数列、等比数列的通项公式的推导方法：累加法、累乘法.

4.已知递推关系求通项

累加法、累乘法、构造法等.

5.涉及到的数学思想：函数与方程思想、转化与化归思想、特殊到一般等.

三、题之变：课本典例改编

题型1 已知数列前几项求通项公式

在我们的教材中（必修5--2.1），有这样的题目：

1.数列 的通项 ____________

2.数列 的通项 ______________

3.数列 的通项 _____________

题型2 公式法

在我们的教材中（必修5--2.3），有这样的题目：

已知 是等比数列， ， ，求数列 的通项公式.

【走向高考】（2014新课标I-17）已知 是递增的等差数列， 是方程 的根.（I）求 的通项公式；

（2016新课标I-15改编）设等比数列 满足 ，则 ____________

题型3 由 与Sn的关系求通项公式

在我们的教材中（必修5第44页例3），有这样的题目：

已知数列 的前 项和为 ，则 ____________

变式：已知数列 的前 项和 ，则 ____________

【走向高考】（2013新课标I-14）若数列 的前 项和 ，则 ____________（2015新课标I-17） 为数列 的前 项和.已知

（I）求 的通项公式；

题型4 已知数列递推公式求通项公式

题组一：由等差演化而来的“差型”递推关系 ---

数列 中， ，求 的通项公式 .

变式1：数列 中， ，求 的通项公式 .

变式2：数列 中， ，求 的通项公式 .

题组二：由等比演化而来的“商型”递推关系----

已知数列 的首项 ，且 ，求 的通项公式.

变式1：已知数列 的首项 ，且 ，求 的通项公式.

变式2：数列 中， ，求 的通项公式 .

题组三：可以一次变形后转化为差型，商型的（构造等差，等比数列）

在我们的教材中（必修五2.1 A组第4题），还有这样的类型题：

写出下列数列 的前5项：（1）

变式1：数列 中， ，求 的通项公式.

变式2：已知数列 满足 求 的通项公式.

【走向高考】（2014·新课标Ⅱ-17）已知数列 满足 .

（1）证明 是等比数列，并求 的通项公式；

【拓展延伸】（必修五课本69页）已知数列 中， ，求 的通项公式.