强光作用下电子的波函数研究

胡娟

本文主要以强激光技术的发展为前提，研究在非相对论量子场理论条件下，计算超强激光作用下整个系统中电子与光子相互作用的波函数，通过计算强光场中A2项的作用，对强光作用下的电子系统用含时薛定谔量子波场来进行描述。利用库仑规范条件、含时薛定谔方程推导出强光作用下电子波函数的计算公式，包括强光作用下电子能量En（K）的表达式。并由含时电子的波函数发现系统中的能量由于电磁辐射的产生而增加，同时得出电子的含时波函数的形式将不再是普通波函数ψ～eiEt/h。

1 绪论

在超强超快激光技术的快速发展的当下，要获得输出功率高、聚焦辐射强的光束能力上已经成为现实。在这样的强光束的作用下，强光所辐射出的强度远超与半导体材料内部所有的库仑场强。因此非线性原子物理学这一新的研究就随着这一类光束的出现而有了新的方向。介质内部因强光场而产生高离化态离子的研究，强光与物体相互作用的研究，强激光脉冲对分子的作用等研究都有待突破。通过强光场电离产生的超稠密和低密度激光等离子体相关特性的研究已然成为现下物理学中的一大研究热点。同时对强光场中纳米结构材料的研究以及低维半导体的不稳定非线性光学性质的研究也意义重大。

强光脉冲的宽度已经从Ps（皮秒）量级已经缩短到了fs（飞秒）量级，光强度也提高近六个数量级。在这样的强光驱动下的电子的运动就有着很强的相对论性，在处理强光与介质中载流子作用时，要先分析自由电子在强光作用下的特点。因为强光不仅可以引起电子的带间跃迁，同时也能使电子在带内的状态发生改变。本文通过强光场中电子与光子的相互作用，从二维电子气模型的角度研究强光驱动下电子波函数的特性。把介质中的电子作非相互作用单电子近似，也就是通过含时薛定谔方程来计算。

2 电子的含时薛定谔方程

本文计算中应用的强光脉冲形式为 ，从经典电动力学的电磁辐射场中出发，用A表示电磁辐射场强光的矢势也叫（電磁矢势），设强光场的辐射方向沿X轴的方向，光沿Z轴方向传播。即 。带入脉冲形式有： 系统波函数的含时表达式： 。其中εn由电子自旋和不含时薛定谔方程共同来决定，而 满足薛定谔方程： 带入上式的波函数，k=（kx+ky+kz）为波函数的波矢。ψ（R，t）是整个系统在强光场中的波函数，强光场的辐射方向沿X轴的方向，也就是说沿X轴方向的光是随时间变化的的量，因此要对X轴进行含时坐标变换，令： 。

于是得到：

此时整个系统的哈密顿量即为显含时间的量，其表达式为：

。

对于强光作用下的二维电子气，P=（Px；PyPz）为动量算符是三个独立的量子数， ， ， 。U（z）是二维电子气中的受限的电子势能。

把含时薛定谔方程拆分开，即可把方程化为：

式中R=（r，z）=（x，y，z），也就是说r是x与y方向的矢量合成。由此可得此时系统的薛定谔方程为：

经含时坐标 变换之后的 ，薛定谔方程也同时经含时坐标变换，对左边偏导数逐项展开后有：

即可得：

要得到系统的波函数，需把所有的参数一并求出，再带入整个系统的波函数方程。之前的计算中，已经求得含时坐标变换之后的位移的变化量，此时还需要求解出D（t），而D（t）是对A2从0到t时间进行非线性积分得到：

把所有计算出的参数带入可得整个系统中电子的波函数为：

且 是系统的能谱，ψn（Z）和εn同时都由一维含时薛定谔方程来决定：

3 格林函数

从电子的含时波函数可以计算出概率振幅，在 态时间为t时给系统加一个电子，让系统经过时间t后，系统中的电子处于 态，通过电子从 态变化到 态的过程中可得：

计算过程中应用到 这一关键步骤。把解析式进一步化简后可得：

在此规定格林函数在（n，k；t）空间中的电子不发生相互作用，所以可以通过格林函数公式来定义电子从 态变化到 态的过程中的变化：

由于变换的电磁场激发出的辐射场，所以计算出来的是含有两个时间（t和t）的格林函数。且有 ：

于是，格林函数在（n，k；t）空间表象中的表达式就可以利用上面的式子重新替换为：

电子经过从 态变化到 态的过程，时间也经历了从t到t的过程。进行傅里叶变换后可求出经过时间推迟后的格林函数。

为了研究系统中电子的稳态特性，可以对辐射场一个周期内的时间T进行平均，利用公式 即可求出格林函数然。

4 小结

强光作用下电子的耦合辐射场可以由系统的波函数得出以下结果：

（1）二维电子气系统的能量由εn变为En（K），且 。这是由于强光作用下使电子系统产生了电磁辐射，使系统的总能量增加。

电子经过格林函数变化之后，可以看出电磁辐射场的作用。当电子的磁场耦合到辐射场时，从电子的波函数和格林函数式中可以体现出电子的回旋共振效应。

（2）电子的含时波函数的形式将不再是普通波函数 的形式。

本文中的电磁矢势A和标量势φ，都是以库仑规范为前提进行计算的，在电磁辐射场中 。库仑规范对应于电流密度j=0，电荷密度ρ=0，也就是系统中的自由电子在受到电磁场的作用下沿着二维平面极化。这种处理准低维电子与光子相互作用的方法非常的简便并且所应用的计算方法普遍适用。

（作者单位：陆军边海防学院（昆明校区））