从带色标的存在图看弗雷格难题的解题思路

杨武金　程橙

摘要：弗雷格难题的解答方案基本上都遵循了这样一条思路：或以某种方式，或引入某些术语来解释A=A和A=B在认知价值上的区别。从带色标的存在图看弗雷格难题的解题思路，首先，要站在反涵义论的立场上将存在图的同一线作为类似于克里普克的专名，即同一线没有涵义。其次，借用法恩在协同模式理论中引入的“出现”的概念，规定等号连接的是出现，并且给每次出现命名。再次，引入色标这一图式装置，将色标作为模态算子。最后，将“晨星和暮星”问题作为一个应用案例，阐述带色标的存在图是如何为弗雷格难题提供了一个新的解题视角。

关键词：弗雷格难题；存在图逻辑；模态逻辑

中图分类号：B81文献标识码：A文章编号：10056378（2018）06003307

DOI：10.3969/j.issn.10056378.2018.06.005

弗雷格难题是逻辑哲学界比较著名的、曾被多次讨论的热点问题。它涉及了专名、名称的涵义和意谓、同一替换原则、语境、信念归属等问题。存在图逻辑（Existential Graphs Logic）是现代邏辑草创时期，美国逻辑学家皮尔士在其关系演算和谓词逻辑的基础上发展起来的，用来处理推理问题的二维图形。研究存在图逻辑的代表学者有泽曼（Zeman）、罗伯特（Roberts）、伯奇（Burch）、翰莫尔（Hammer）、巴维斯（Barwise）、申顺珠（Shin）和皮尔塔瑞南（Pietarinen）。泽曼和罗伯特建立了存在图逻辑的半形式化系统。申顺珠、翰莫尔和巴维斯等人在泽曼和罗伯特的成果的基础上，为存在图添置了新的装置，尝试论证存在图逻辑的α部分和β部分分别与命题逻辑和一阶逻辑对应。伯奇和皮尔塔瑞南给予了存在图以博弈论语义。皮尔士本人已经有了可能世界语义学思想的雏形，泽曼尝试了对色标进行形式化的定义。

一、弗雷格难题的界定

在《函数和概念》中，弗雷格提出必须区别符号的涵义和意谓， 并且等号连接的是符号的意谓。例如，“2·23+2=18 这个算式表达出，位于右边的符号组合与位于左边的符号组合意谓相同”[1]57。也就是说，A=B是因为符号A和B的意谓相同。但是，“意谓的相同不导致思想的相同。如果我们说‘暮星是一颗行星，其公转周期小于地球的公转周期，则我们表达了一个与‘晨星是一颗行星，其公转周期小于地球的公转周期这个句子表达的思想不同的思想”[1]65。将关于暮星的句子记作A，将关于晨星的句子记作B。虽然，不知道晨星是暮星的人会认为两个句子的意谓（真值）不同，即一个为真，一个为假。但事实上两个句子都是真的，所以可以记作A=B。看上去弗雷格已经很好地分析了A=A与A=B之间的区别，但是弗雷格难题仍然没有得到全面解决，其留下的疑难可以大致地总结为三点：

一是，由学界主流建立起来的逻辑是外延逻辑，没有用到内涵理论，也不需要对内涵对象进行研究，所

以外延逻辑对弗雷格难题毫无办法。

二是，在从句（间接语境）中同一替换原则失效。例如，“我知道A”和“A=B”，不能推出“我知道B”。

三是，离开语境进入更广阔的符号领域，例如认知领域，弗雷格的意义理论的局限更加凸显。例如，我们先通过正面角度看到一只粉红色玩具小象，然后我们再通过从下往上的角度看到这个玩具的底部。第二个角度已经在很大程度上脱离了第一个角度所留下的印象，那么我们如何断定两个印象指向同一个玩具？

随着对弗雷格难题的讨论不断深入，对它的定义也产生了一些分歧。下面对弗雷格难题进行限定。弗雷格难题的基本内容是：A=A和A=B，为什么前者是不足道的，而后者却能增加我们的知识？弗雷格难题的衍生内容是：在间接语境乃至认知领域内，弗雷格难题涉及了语境、信念归属、意义理论、同一替换等问题。例如，“我知道A”和“A=B”，不能推出“我知道B”。

二、国内外主要解题方案分析

国内外关于弗雷格难题的主要解题方案基本上可以分为两种相互对立的立场。一种是以弗雷格、丘奇（Church）、达米特（Dummett）和贝勒（Bealer）为代表的涵义论立场。弗雷格认为，等号传达的不是对象之间的关系，而是符号之间的关系，正是等号两边的符号的涵义不同造就了认知价值的不同[1]65。继弗雷格之后，丘奇将弗雷格遇到的难题表述为：如果A=A是真的，怎会与A=B的意思不同。他还构建了相应的语义理论[2]。达米特在涵义论的基础上强调了“实践”的重要性，他认为语言表达式的涵义可以通过说话者的实践加以识别。说话者对于一个表达式的使用——交流双方通过对方使用语言表达式的行为——能够确定他把什么涵义附着于这个表达式上[3]。周北海以涵义、概念和内涵等这些概念的形式刻画为中心，建立了可以消解弗雷格谜题的形式语义学。他设定了一个语义值概念，通过A、B概念的不同来反映A=A和A=B的认知价值不同[4]。

反涵义论立场以克里普克和法恩（Fine）为代表。克里普克主张专名没有涵义，只有指称。既然取消了涵义，弗雷和达米特等人的解答方案就失效了。法恩通过协同模式（coordination scheme）来解释同一陈述句的认知价值，他使用协同模式这个术语来表示作用于“出现”上的相等关系。协同模式的关键在于区分了名字的出现。出现，指的是名字在单个位置上的某一次使用，除非特定说明，不同的出现（即使是同一个名字）都应该被看作是不同的符号。如果两次出现指向同一个体，那么这两次出现具有协同模式这个关系，则称这两次出现是 “正协同”的，反之为“负协同”的。例如，“汤姆”这个名字在某书的第一页出现了一次，又在该书第二页出现了一次，那么这两次出现应该被看作互不相同的符号，分别记作A和B。不足道地，每一次出现都与它自身正协同，记作A=A。若A与B指向同一个个体，比如汤姆这个人，则A与B正协同，记作A=B[5]。尽管A=A与A=B的指称相同（即都为真语句），但两个等式的认知价值不同。

综上所述，弗雷格迷题有解就是说存在理论能够合理解释A=A和A=B在认知价值上的区别。

三、EGα、EGδ和弗雷格难题

存在圖逻辑分为EGα、EGβ和EGγ三个部分。有的学者认为皮尔士还构想了第四个部分EGδ。EGβ是在EGα基础上建立的，EGγ是在EGβ基础上建立的。EGα和EGβ分别与命题逻辑和一阶谓词逻辑对应，而未完成的EGγ与模态逻辑和高阶逻辑相对应。为清晰起见，规定EGγ与命题模态逻辑对应，而EGδ与一阶模态逻辑对应。

在存在图逻辑中必须区分存在图（graph）和预备图（diagrams），而这一点在罗伯特、泽曼和申顺珠等人的著作中没有体现出来。如果不区分预备图和存在图，就会导致存在图逻辑系统无法成为严格递归的系统。德奥（Dau）在其论文的前言中指出了罗伯特、泽曼和申顺珠等人的工作存在的这一欠缺，并用一种过于繁琐的方式下弥补了这个欠缺[6]。下面是区别于德奥的，另一种更为简洁的方案：区分预备图和存在图[ZW（]区分预备图（diagram）和存在图（graph）以构建严格递归的存在图逻辑系统的想法，源于笔者和巴西逻辑学者，来自芙洛米嫩塞大学数学与数据系的乔治·派崔西·维纳（Jorge Petrucio Viana）教授，于2018年4月在人民大学校园内进行的为期一周的讨论。维纳教授提供了思路，笔者完成了证明。[ZW）]。

第（一）部分介绍了EGα，证明了EGα与命题逻辑等价，目的在于以最简明的方式，快速展示一个严格递归的存在图逻辑系统的整体面貌与研究方法。由于前人没能建立一个严格递归的存在图逻辑系统，所以这部分内容作为基础工作而不可忽略，同时也体现了“区分预备图和存在图”这一思想的关键性。有第（一）部分做铺垫，第（二）部分在定义了EGδ符号、符号组合方式、公理模式和变形规则之后，将跳过EGδ与量化扩张之后的KD4[7]的比较，并且省略相应的对同一性、存在等哲学话题的讨论，直接进入第（三）部分的应用：弗雷格难题。

命题1.1所有的预备图都可以翻译为公式。

命题1.2所有的预备图都与它所对应的公式等价。

命题1.3所有的存在图都可以翻译为公式。

证明：通过定义1.3建立的存在图与预备图之间的关系，定义1.10建立的函数STG和函数STD之间的关系，以及上文证明的命题1.1，施归纳于[WTBX]G的结构即可得证。

命题1.4所有存在图的真值与它对应的公式的真值相同。

证明：通过定义1.4、定义1.5、定义1.9和命题1.2，施归纳于[WTBX]G的结构即可得证。

定义1.11把公式翻译成预备图的映射BTD

通过施归纳于命题α的结构，可以证明命题1.5所有的公式都可以翻译为预备图。

以及命题1.6所有的公式的真值与它所对应的预备图的真值相同。

定义1.12把公式翻译成存在图的映射BTG

BTG∶FG，BTG（α）=BT[XCZT10-1.TIF]（α）

命题1.7所有的公式都可以翻译为存在图。

证明：施归纳于命题α的结构。

命题1.8所有的公式的真值都和它对应的存在图的真值相同。

证明：施归纳于命题α的结构。

命题1.9 EGα和命题逻辑系统等价。

证明：EGα的公理和5条变形规则（推理规则）的保真性罗伯特已经给出。然后用命题1.4和命题1.8证明。

（二）EGδ

EGγ是在EGα的基础上引入色标。EGδ是在EGγ的基础上引入同一线。

色标（tincture）是皮尔士在研究存在图的过程中对模态做出的改进。通过色标，存在图的研究范围已经延伸到了命题模态逻辑和一阶模态逻辑的范畴，分别与EGγ和EGδ对应。他用十三种色标体现了对不同的可能世界的考虑。色标有三个类，它们分别是金属、彩色和毛皮。三类色标又分成十三种色标，它们分别是白色、深蓝色、浅蓝色、红色和绿色等等，其中金属类色标表示各种必然性的情况，彩色类色标表示各种可能性的情况；毛皮类色标则是皮尔士独创的“不得不”的情况[8]。皮尔士的原著晦涩是学界共识，但这并不能湮灭他的一些富有远见的设想。

通过带色标存在图来分析弗雷格难题，一是因为存在图具有直观性，有利于直观地展示弗雷格难题的所难之处。二是因为近年来存在图被应用到非经典逻辑乃至认知科学的领域内，作为工具，存在图能够用来分析具有认知意味的衍生难题。下文中用[XCY1.TIF]来表示色标。

同一线是一条实线曲线，表示存在某些个体（事件）且它们彼此同一，也就相当于存在某个体（事件）。同一线相当于克里普克的专名，它的一个重要特点就是没有涵义。此外，它还有一个新功能：当它穿过色标，它将不同的语境连接了起来。下文中用[XCZT16.TIF]表示同一线。

EGδ的变形规则：

规则1插入规则：奇数个切内可以插入任意预备图。

规则2删除规则：偶数个切内可以删除任意预备图。包括部分同一线。注意，同一线和切相交的部分在切外。

规则3复制规则：①如果预备图在断言页上，那么该预备图可以复制于断言页上的除了该预备图自身以外的任何位置。②如果预备图在卷上[ZW（]卷（scroll）： 假设cn-1，cn，cn+1是三个切，如果cn+1在cn的区域内，并且若cn不在cn-1的区域内则cn+1也不在cn-1的区域内，那么后两个切构成一个卷。n=2，3，…。[ZW）]，那么该预备图可以复制于卷上除了该预备图自身以外的任何位置。③如果预备图在色标上，那么该预备图可以复制于该色标上的除了该预备图自身以外的任何位置；如果某预备图在色标和卷的相交区域上，则该预备图只能复制于该色标和该卷的相交区域。④一线向内延伸，可以与切和色标相交。⑤若预备图经过复制规则在断言页，卷上或色标上复制了自己，那么原同一线可以向内延伸并且和自己的复制预备图连接。

规则4复制规则的逆规则：通过复制规则得到的可以删除。

规则5双切规则：等同于双重否定规则。

规则6色标的引入规则：①色标可以按需置于预备图之下。②

若在知道语境内正协同 ，那么同一个切的区域内的两个色标可以合二为一，一个色标可以一分为二。若在知道语境内并非正协同，则不可以使用此规则。③在偶数切的区域内，双切的两个切可以分别在不同的色标上，或一个在色标上，另一个在断言页上。④奇数切的区域内，任意叠加在已有色标t上的色标t1可以被删除。

命题2.1规则1-规则6保真。

与罗伯特给出的证明相似[9]143，但规则3的证明需要借助巴肯公理进行限制。

可以发现，伪存在图[XCZT28.TIF]是无法通过公理和变形规则得到的；系统内每一个存在图都可以翻译为一个真值为真的闭合公式。若规则6

②没有知道语境下正协调的限制，则EGδ与量化扩展之后的KD4相对应。

1.引入一个断言页T。

2.引入已知条件“我知道晨星”的预备图[XCZT44.TIF]。这是这颗星体的第一次出现，它被命名为“晨星”，谓词符号P表示“是晨星”。将该存在图的预备图放置在断言页上。

3.引入已知条件“我知道暮星”的预备图[XCZT45.TIF]。这是这颗星体的第二次出现，它被命名为“暮星”，谓词符号[WTBX]Q表示“是暮星”。将该存在图的预备图放置在断言页上。

4.引入已知条件“金星是晨星”和“金星是暮星”的预备图[WTBX]Q——R和P——R。这颗星体的第三次出现被命名为“金星”，谓词符号R表示“是金星”。将该存在图的预备图放置在断言页上。

5.先利用规则3⑤同一线连接两个[WTBX]-R，再用规则4消除一个-R。

6.根据规则6①、6②和规则4，晨星=金星，金星=暮星，乃至晨星=暮星，都是为真的同一陈述，但是由于色标“我知道”的介入造成了认知上的差异，

即，在没有“知道语境下P-，Q-，R-正协同”作为已知条件下，无法推出“知道金星是晨星”等命题。

否则就违反了变形规则6②。

区别预备图和存在图，是建立严格递归的存在图逻辑系统的关键。从带色标的存在图看弗雷格难题，就是用EGδ将弗雷格难题形式化。一个似乎合理的解题方案是跳出弗雷格涵义论的窠臼，用其它层次的差异来解释意义上的差异。在借助法恩的协同模式理论的过程中，EGδ强调了视觉上的直观展现。以“晨星和暮星”为例，EGδ的建立是存在图逻辑在非经典逻辑领域内的一次创新。

[参考文献]

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[3][KG*2]MICHAEL DUMMET. Frege： Philosophy of Language[M].New York：Harper&Row，1973：628-664.

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【责任编辑吴姣】

Abstract： The solutions to Freges puzzle basically follow a line of thought： either in some way or by introducing certain terms to explain the difference between A=A and A=B in cognitive value. From the existential graphs with tinctures to see Freges problem solving ideas， first of all， we should stand in the position of antisemantics and regard lines of identity of existential graphs as proper names similar to Kripkes， that is， lines of identity have no meaning. Secondly， by borrowing the concept of “appearing” introduced by Fines theory， it is stipulated that the symbolic connection is appearing and each appearing is named. Thirdly， tinctures are used as the modal operators. Finally， “the Morning Star and Evening Star problem” is taken as an application case to illustrate how the existential graphs with tinctures provide a new perspective for solving Freges puzzles.

Key words： Freges puzzles； existential graph； modal logic