强化解方程训练 提高解题的能力

谢秀喜

【摘 要】学好数学，要学会透过现象看本质，要领会问题的思想方法，由寻找联系入手，运用特殊与一般的思想方法，把个别的离散的现象构造成等式关系，建立成方程系统。通過解方程，获得问题的答案。从而培养学生善于观察、分析、思考的学习习惯，提高学生发现问题和解决问题的能力。

【关键词】列方程 方程组 解方程

数学思想方法是数学宝库中的重要组成部分，是数学学科赖以建立和发展的重要因素，在初中数学教学中，要把数学思想方法和知识技能融为一体，培养学生的能力，提高学生的技能。根据笔者长期的理论研究和教学实践，本文谈谈“强化解方程训练，提高解题的能力”

一、列方程解实际应用问题

列方程和解方程是数学的基本训练，是数学解题的重要技巧。列方程解应用题是考查学生对数学知识掌握与应用的一个重要的方法和技能。

案例一：为了庆祝“六一”儿童节，海山中学七年级宏志班买阿尔卑斯棒棒糖分给班上每位同学。如果每人分3根，剩余20根；如果每人分4根，还缺25根。问这个班有多少学生？买了多少根棒棒糖？

分析：这是典型的“等量问题”，棒棒糖的总数是定值，表示总数的方法有两种。设这个班级有x名学生，每人分3根，需要3x根，加上剩余的20根，棒棒糖共（3x+20）根；每人分4根，需要4x根，减去缺的25根，棒棒糖共（4 x-25）根。这批棒棒糖的总数是定值，表示它的两个式子相等。

解：设这个班有x名学生，依题意得到关系式：3x+20=4x-25

解得：x=45。所以棒棒糖的数量是：3×45+20=155

由此可知，这个班有45名学生，这次活动共买棒棒糖155根。

反思：（1）教师要善于指导学生寻找等量关系进行列方程。常见的等量关系有：①利用周长、面积、体积公式建立相等关系；②行程问题：路程=速度×时间；③追击问题：追击差=速度差×追击时间；④工程问题：工作量=工作时间×工作效率；⑤浓度问题（以盐水为例）：浓度=（盐÷盐水）×100%；盐水=盐+水；③盐=盐水×盐水浓度；⑥航速问题（以船为例）：顺水速度=静水速度+水速；逆水速度=静水速度-水速；⑦利润问题：商品利润=售价-进价；商品实售价=商品原价（标价）×（折数×0.1）；商品利润率=商品的利润÷商品的进价=（商品的售价-进价）÷商品的进价。通过指导学生寻找“等量关系”，就可以使问题获得解决。

（2）列方程解应用题的一般思路是“审题、找等量、设元、列方程、解方程、检验”等。关键是四步骤：①通过读题和分析问题条件，找到等量关系。有的习题条件不直观，不能直接找出相等的关系，可以通过“列表、画图、找关键数字、找重要词语”等方法挖出隐含的等量关系；②设未知数可直接设和间接设，依找的相等关系来设。③列出包含已知和未知量的代数式，用等量关系连接，就列出方程。④解方程结束时，要检验所得解是否方程的解，是否满足实际问题。

二、运用列方程组解决问题

方程组是刻画实际问题的重要数学模型，在现实中具有广泛的应用，用它解决实际问题时，要注意分析问题中的各种等量关系，引进适当的未知量，建立相应的方程组。

案例二：美丽的山下村和风景秀丽的江边村相距48千米。一叶小舟从山下村顺流而下到江边村需2小时，从江边村逆流而上山下村要用3小时，问小舟在静水中的平均速度是多少？水流平均速度又是多少？

分析：这个问题中要求两个未知数，它是顺流、逆流的航速问题。已知两村的距离和顺流航行需2小时，逆流航行需3小时，求两个未知数需设两个方程。根据顺流航行路程=顺流航行时间×顺流航行速度，逆流航行路程=逆流航行时间×逆流航行速度，把它们组成方程组。根据解二元一次方程组的消元思想求得方程组的解。

解：设小舟在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时和y千米/小时。

依题意得到：方程①2（x﹢y）=48和方程②3（x-y）=48；

通过指导学生解得x=20；y=4

由此可知，小舟在静水中的速度为20千米/小时，水流速度为4千米/小时。

反思：解题中要注意审题，分别找出已知量和未知量，通过某种规律找到它们之间的相等关系。注意确定小舟顺、逆流时合成速度的表达式；注意二元一次方程组是方程中含有两个未知数，解方程组要注意等式性质的应用，解完方程组要将“解”代入原方程组中的每个方程进行检验，两个方程都成立的解才是原方程的解。

三、解方程要理解“方程的解”

每个方程的未知数的取值范围都有一定的限制，在解方程中，如果改变了原方程的未知数的取值范围（缩小或扩大）都会影响方程的解，即可能漏掉一些解或掺进一些假的解，数学上分别叫做“失根”或“增根”。具体在解分式方程、无理方程、含绝对值的方程和高次方程时，由于实施某种变形可能改变未知数的取值范围，因而可能失根或增根，所以解方程结束时一定要注意验根。

案例三：解分式方程

分析：这是一个比较复杂的“分式方程”，解分式方程最容易出现的问题是“增根”与“失根”。所以教师要注意指导学生在解完分式方程之后，一定要进行“验根”。

解：在教师的指导下，通过学生的讨论与练习，经过“利用分比定理，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等过程，解得“x1=-5；x2=1”

讨论：原方程的未知数的取值范围是：x≠1，x≠-2的所有实数，而经过用分比定理变形后所得的方程的未知数的取值范围改变为x≠0的所有实数，这样方程有产生增根的可能。经检验，x=1是方程的增根，应舍去，而x=0也能使方程的两边相等，也是方程的解，因此x=0是失去的根。

所以方程的解应为：

反思：解分式方程时，将分式方程转化为整式方程时易产生增根，解完时一定要将“解”代入最简公分母，如果“最简公分母”为0，就是增根；即使最简公分母不为0，也需代入原方程，只有使原方程左右两边相等的未知数的值才是分式方程的解，因为不论是解“一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程”等得到的“解”，代入原方程检验可提高解题的准确度，避免解题的失误。

四、一题多解提高解题能力

“一题多解”是培养学生发散性思维能力的重要途径。教师教学时，①要善于运用鼓励性的语言鼓励学生思考，引导学生讨论与交流，鼓励学生积极参与；②要帮助和指导学生进行“多元的思考，多角度、发散思维、逆向思考”等方法的训练。学生在“鼓励、竞争、多角度、发散思维、逆向思考”等情境之中，将会“乐于表达自己的解题想法”，往往会出现“一题多解”的效果。

案例四：花农家有块长方形花圃，边长是方程 的两个根，花农想知道这块花圃的边长是多少，你能够帮助这个花农解决问题吗？

分析：边长满足方程 的两个根，只需得出这个方程的解即可。它是一元二次方程的标准形式，求解可考虑运用：①求根公式法；②配方法；③因式分解法等。在教师的启发下，鼓励学生“讨论、交流、探索”等活动，尤其是通过“十字相乘”法的探讨，培养学生发散性思维的能力，为学生将来的学习打下良好的基础。

解法1、用求根公式法解得：x1=3； x2=2

解法2、用配方法解得：x1=3； x2=2

解法3、用十字相乘法，得到（x-3）（x-2）=0；解得：x1=3； x2=2

由此可知，长方形花圃的长为3，宽为2.

反思：（1）教师要善于指导学生多进行“一题多解”和“一题多变” 的解题训练。这种训练：①有利于培养学生发散性思维的能力，有效提高学生思维的灵活性；②可以有效地提高学生分析问题、解决问题和归纳能力等技能。

（2）本题解一元二次方程运用三种不同解法，过程、方法和思考角度不同，最终的结果一样，富有异曲同工之美。有利于培养学生发散思维的能力，有助于培养学生大胆思考和大胆创新的能力。

（3）在教学活动中，鼓励学生积极思考，找出最佳的解题思路，找出最优和最简单的解决问题的办法，拓宽学生解题思想，训练学生思维能力，指导学生探求数学知识并会灵活运用，从而指导学生在更高层次上創造性学习和探究，促进学生解题能力的进一步提高都具有重要的意义。

（4）鼓励学生积极反思，对重要数学公式、定理的应用进行系统小结，使学生对所学知识的内在联系脉络清晰，从而实现“举一反三”的效果。

随着数学的研究范围不断扩展，方程被普遍使用，从初等数学中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂发展，不论怎样发展，方程就是含有未知数的等式，都表达涉及未知数的相等关系。恩格斯说过“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”，许多数学问题的未知数不是孤立的，它们与一些已知数之间有确定的联系，这种联系为一定的相等关系，把这种关系用数学形式写出的是含有未知数的等式就是方程。解方程的基本思想方法都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已知数表达的形式，这正是方程的本质所在。方程的本质在于对已知数和未知数一视同仁，通过建立已知数和未知数间的等量关系，求得未知数。