负指数沃尔夫位势方程组的渐进估计

刘招 逄晨雪 熊璐瑶

摘要： 文章研究了沃尔夫积分方程组连续整解，，其中n≥1，p，q，α，σ>0，γ>1， n

关键词：渐进行为；共形几何；沃尔夫位势

令n≥1，p，q，α，σ>0，γ>1， n<αγ，文章考虑了沃尔夫负指数积分方程组

， （1）

沃尔夫位势方程自引入后，逐渐应用于共形几何、非线性偏微分方程、拉普拉斯方程、海森方程等诸多领域。

当γ=2，α=β/2，u（x）=v（x），p=q，σ=0时，方程（1）变成

.

该方程在共形几何中有非常重要的作用。XU X证明了当且仅当临界情形时有解，且所有正解可分類为.对于更一般的非线性项，在具有单调假设下，笔者分类了所有解。

对于单个负指数方程，LEI Y 研究了其解的性态，文章建立了沃尔夫方程组的一些解的渐进估计，得到了如下定理。

定理 1， 设（u，v）是方程组的一组连续正解，若，则

，

.

一、引理证明

为完成定理1，先来证明一个引理。

引理 1，设（u，v）是方程组的一组连续正解，若，则对于充分大的x，存在常数C1，C2使得

，

. （2）

并且对于所有，有

，.

证明， 我们仅考虑u（x）. 对充分大的R，当x>R时，有

， （3）

为证明不等式的右边，我们将u（x）进行分割，

=

I1（x）+I2（x）+I3（x）.

对于I1（x），易知.

对于I2（x），由q>及（3）可知，

.

对于I3（x），

.

因此，u（x）=I1（x）+I2（x）+I3（x），结合（2），我们得到（3）。

根据（2）和，对R充分大，有

.

同理可以证明v（x），引理1证毕。

二、定理证明

定理 1， 设（u，v）是方程组的一组连续正解，若，则

， （4）

.

证明，下面仅证明（4）式，根据引理1和，可得

.

先证明

. （5）

对给定R>0，λ∈（0，1），t∈（0，λx），取x充分大使得BR（0）B tc（x），有

.

令x→∞，有

.

令λ→1，R→∞即得到（5）式。

下面对x充分大估计u（x）的上界，对任给γ>1，有

I4（x）+I5（x）.

当x→∞时，根据引理 1得

. （6）

下面估计I4（x），

.

令x→∞，有

.

令γ→1，结合（6），可得

.

则定理1证毕。