概率论与数理统计的应用

寇磊 达佳丽

[摘 要] 概率论属于数学学科的分支，以研究随机现象问题为主要方向。其中体现出本质的数学思想，在通信工程、计算机科学、医学、物理学、经济、社会等方面都有涉猎。运用概率统计知识寻找内在的统计规律，并用来指导实践活动，有利于实施正确的决策和行动。平日里众多难解且难以下决定的问题，利用概率统计的知识，将它们转化为纯数学的问题，就可以轻松处理。通过数学期望在生活中的应用、利用方差预估选手上场的情况、中心极限定理在公司运营中的应用、古典概型在生活中的应用和概率知识用于生活评估这五个方面具体开展说明。

[关 键 词] 概率论；数理统计；方差；应用

[中图分类号] O21-4 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）28-0109-01

一、数学期望在生活中的应用

期望，又名均值，即数学期望，是概率论中举足轻重的数字特征，在经济管理工作中是不可或缺的。

（一）利润问题

在生产活动中，生产或销售无不追求高额利润，供求不平衡都做不到双赢。但在市场经济系供需关系难以提前知道。聪明的商家往往按照历年的数据，用数学期望结合其他学科的相关知识，选出最优的营销方案。

（二）医疗问题

在对某种疾病做调查时，为减少工作量，采取随机抽样的方法，但取样要有代表性，求出期望，据此估计出该疾病的危害。

二、利用方差预估选手上场的情况

方差：设x是一个随机变量，如果E[x-E（x）]存在，则称之为随机变量x的方差记作D（x）或Dx。

选手的选拔十分关键，选手成绩的高低、发挥的水平，都会影响比赛成绩，所以选手的选拔不可忽视。例：甲、乙两名选手平日里成绩相同，但甲的方差比乙大，问两名选手应如何选择？

分析：由于随机变量的方差反映了x与其数学期望E（x）的内在联系。可得出方差越小则选手的成绩越稳定，所以乙选手适合。此外，方差在其他领域中都有广阔的天地，如在计算机领域中统计语言模型，适用于语音识别等。驾驭了方差及其相关的性質，生活中部分看似抽象的问题能容易解决。

三、中心极限定理在公司运营中的应用

大数定律和中心极限定理是商业永葆青春的根本。一家公司的盈亏，利用中心极限定理的知识就能估算和预测。下面举一实例来阐述大数定律和中心极限定理在公司中的重要作用。

例：有10000人购买了某户外运动公司提供的意外伤害保险，每人一次交200元，若购买者在这次活动中死亡，户外运动公司赔偿给家属10000元。设死亡率为0.017，求该公司在这一次活动中亏本的概率。

解：设该次活动中死亡的人数为x，则x符合参数n=10000，p=0.017的二项分布，期望，方差，标准差。户外运动公司每年收入为10000×200=2000000元，支出10000x元，获利（2000000-10000x）。由该式，我们便能求出当死亡人数大于等于200时，公司亏本。利用棣莫弗-拉普拉斯定理，求出公司亏本的概率为0.01。可看出中心极限等定理对公司的运营方式起指引作用。

四、古典概型在生活中的应用

投资活动总有一定的风险。在投资决策时，许多人进退两难，下面我们应用概率的知识，通过实例计算一下在投资时，如何做能让你获得最大利润。例：某人有9万元资金，想投资某项目，预计成功的机会为30%，可得到奖金10万元，失败的机会为70%，将损失2万元，若存入银行，同期间的利率为4%，那么，此投资是否值得？

解：以ε记投资此项目的投资利润，则投资利润的平均值即ε的数学期望为E（x）=1.6万元，而存入银行的利息为10×4%=0.4万元。从期望收益的角度看，应选择投资。在选择决策前算出各种情况的平均值即数学期望，能找到合理的投资方案。

五、概率知识用于生活评估

工厂产量高，逐个统计出来不现实。我们能利用概率的知识对产量展开评估，最后能够较精确地统计出产量。例：有n辆车，车牌号从1到n，有人摘抄遇到的n辆车的牌号，以遇到每辆车的概率相同为假设条件，求摘抄到的最小号码恰好为k的概率。

解：由题目可得出遇到每辆车的概率相等，所以视为古典概率模型，设摘抄到的最小号码为k这一事件用ak来表示，设摘抄到的最小号码不超过k这一事件用bk来表示，很明显有ak=bk-b（k-1），根据概率的性质，P（ak）=P（bk）-P[b（k-1）]。根据古典概率求得P（bk），最后得到P（ak）。

概率论除了在这五个方面产生作用，在生活中也发挥着不可估量的作用。无论现在、过去甚至未来，乃至日常生活和经济活动，用概率统计的知识分析整合有用的数据，能为未来的决策提供经验。我们不断接触随机事件、概率、随机变量及其分布，更要理解深层次含义，融会贯通。掌握随机变量内在的数字特征，钻研对数学期望、方差，大数定律及中心极限定理等的求解，才能深入了解分布的规律，把握概率思想，应对生活中纷繁复杂的问题。

参考文献：

[1]张栋栋，张德然.概率论思维及其智力品质的培养[J].大学数学，2005（5）.

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[3]王淑玲，卓丽.概率论与数理统计的有效课堂教学[J].考试周刊，2011（6）.

[4]李军.《概率论与数理统计》课堂教学初探[J].宜春学院学报，2007（2）.