图像多分辨率表示方法概述

张卓

摘要：图像处理的核心任务是视觉信息的有效表示，图像多分辨率表示方法具有多尺度、多方向特性，能有效捕捉图像纹理、边缘等重要图像结构信息。本文对国内外研究状况进行了阐述，提出存在的问题，探讨了图像多分辨率表示的发展方向。

关键词：图像表示；多分辨率；图像处理

中图分类号：TP391.41 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2018）02-0207-01

1 引言

图像处理的核心任务是视觉信息的有效表示，好的图像表示能用较少的描述捕获重要的目标信息。M.N.Do给出了图像有效表示的目标为：多分辨率、局部性、临界采样、方向性和各向异性[1]，而多分辨率是符合人眼视觉的重要要求。

图像多分辨率表示起源于图像金字塔分解，故在第2部分首先介绍图像金字塔的组织结构和特点，然后介绍基于金字塔结构发展而来的方向多分辨率图像表示方法。在第3部分先给出四叉树分解结构的变分辨率特征，然后介绍了复合多分辨率图像表示方法。

2 方向多分辨率图像表示

2.1 图像金字塔

图像金字塔是图像多分辨率表示理论的最早应用。对一幅图像进行金字塔分解，首先将其在两个方向上进行1：2的亚采样，然后经过滤波处理得到原始图像的缩略图。重复此过程，就可得到不同尺度的缩略图。

图像金字塔作为一种图像多分辨率表示方法，仅能产生较粗的频率分解，没有方向分解，所有在同一个倍频程的频率，都包含在金字塔同一层中，因而应用领域受限。

2.2 方向多分辨率图像表示的发展

图像金字塔表示的方向匮乏问题使其应用受限，如何将图像多分辨率表示与多方向性结合起来，是重要的发展方向。

Stephance G.Mallat于1989年将小波分析应用于图像领域，图像的小波分析不仅能对图像进行不同尺度分解，而且二维小波基具有多方向性，能一定程度的表达图像几何正则性。但在二维小波逼近奇异曲线过程中，出现的大量不可忽略的系数使其无法“稀疏”表达原函数。为解决图像等多维数据有效表达的问题，需寻找更优的方向多分辨率图像表示方法。

1998年E.J.Candes和D.L.Donoho提出Ridgelet变换。此变换是针对直线奇异的多变量函数的最优逼近，为非自适应高维函数表示。变换过程首先运用radon变换，把线状奇异性变换成点状奇异性，再用小波变换进行处理。因此，Ridgelet变换具备了一定的方向辨识能力，对具有方向性的直线特征可有效表达。

Ridgelet变换虽能最优逼近含直线奇异的多变量函数，但对图像中的曲线却无能为例。1999年E.J.Candes又提出单尺度Ridgelet变换，用直线逼近曲线，能较好处理图像曲线的奇异特征。较之小波变换，其针对含曲线奇异的多变量函数的逼近能力有所提升，但在计算复杂度上有所牺牲。

1999年E.J.Candes和D.L.Donoho提出第一代Curvelet变换。有别于单尺度Ridgelet变换只在某一尺度进行Ridgelet变换，Curvelet变换在所有尺度上完成Ridgelet变换。这种变换综合了Ridgelet变换擅长表示直线和小波适合表示点奇异性目标的优点，但存在加窗效应，又因使用的仍为Ridgelet变换，复杂度高。

2005年E.J.Candes和D.L.Donoho对算法进行改进，提出第二代Curvelet变换。该方法不再使用Ridgelet变换，而是通过在频域进行划分，直接给出了具体的变换形式。第二代Curvelet变换在方向性、时频域局部性和非线性逼近等方面有更好的表现，但仍没有解决冗余度和加窗效应的问题。

M.N.Do和M.Vetterli于2001年提出Contourlet变换。该变换在离散频域中直接定义，避免了复杂的离散化操作，比Curvelet变换的冗余度和计算复杂度低。但对于多数角度滤波器，该变换无法在频域迅速局域化，造成图像边缘线的伪振荡。另外，Contourlet变换缺乏完整、系统的逼近理论和算子理论，基础理论还有待完善。

2007年K.Guo和D.Labate等人在合成膨胀的仿射变换基础上提出Shearlet变换。该变换允许每个尺度上有不同数目的方向分解，其基支撑区间具有长宽比随尺度而变的“各向异性”特点，能实现对图像的稀疏表示。相比其它图像多分辨率表示，Shearlet变换理论性强，算法实现简单，计算复杂度低，在图像处理方面应用广泛。

3 复合多分辨率图像表示

3.1 四叉树

四叉树表达法利用金字塔式的数据结构对图像进行表达，树根对应整幅图像，树叶对应单个像素或相同特征像素组成的方阵。

复合多分辨率图像表示是一类结构较复杂的图像多分辨率表示，基于四叉树分裂结构的隐型模型。不同于金字塔多分辨率的分解形式，复合多分辨率表示是在四叉树分裂结构的基础上，根据预先已知的图像几何正则性，对图像进行自适应二进剖分。

3.2 复合多分辨率图像表示的发展

复合多分辨率图像表示采用四叉树分裂结构，对分块进行恰当的描述来逼近图像的几何结构和边缘信息。根据不同图像内容，分块大小随之调整，体现多分辨率特性。

1999年D.L.Donoho提出Wedgelet变换。Wedgelet基是定义域为正方形区域的分片二值函数，Wedgelet字典由不同尺寸、不同方向的一组Wedgelet基构成，用以描述图像边缘。Wedgelet变换为水平模型的物体提供了一种近似最优的表示，主要用于检测有噪图像的线性奇异性信息，但由于Wedgelet逼近自底向上，计算时间较长。

2000年D.L.Donoho和霍小明提出Beamlet变换。Beamlet字典由在不同位置、方向和尺度上进行二进结构剖分的线段组成，可对全部线段实现多尺度逼近，能有效分析线段奇异性。相较于小波分析对光滑函数进行了最优稀疏表示，Beamlet变换最优稀疏表示了图像中的光滑曲线。

Pennce和Mallat在2000年提出第一代Bandelet变换。这种变换能够自适应跟踪图像几何正则方向，为基于边缘的多分辨率表示。变换首先将图像的几何特征转换为矢量场，把灰度变化的局部正则方向用矢量来表示，然后在矢量线方向进行小波变换，用光滑的曲线描述不连续重要的小波系数。Pennce和Mallat给出了Bandelet变换的最优基快速寻找算法，在去噪和压缩方面体现出一定优势。

2005年Peyreg和Mallat改进算法，提出第二代Bandelet变换。该变换避免了重采样和弯曲等在第一代Bandelet变换中造成算法实现复杂的操作，通过二维小波变换实现多分辨率分析，通过正交方向的一维小波变换实现几何方向分析，二者共同实现了图像表示。第二代Bandelet变换具有简单、正交及没有边界效应等特点，在图像处理领域应用更为广泛。

4 结语

本文从两条主线粗略探讨了图像多分辨率表示的发展概况，阐明了它们产生的背景和发展历程，并指出其优缺点和发展方向。虽然图像多分辨率表示已發展多年，但其重要价值才崭露头角，如何能更加有效地研究和利用图像多分辨率表示方法，对未来图像智能信息处理至关重要。

参考文献

[1]M.N.Do， M.Vetterli. The contourlet transform： an efficient directional multiresolution image representation， IEEE Transactions Image on Processing.2005，14（12）：2091-2106.