基于窗函数设计FIR滤波器的教学案例探讨*

王再见，闵福蓉，丁绪星

(安徽师范大学物理与电子信息学院，安徽 芜湖 241000)

0 引言

《数字信号处理》是开设较为广泛的信息类工科学生专业基础课程，其教学需要培养学生以下能力：1) 能够针对复杂工程问题设计解决方案，设计满足需求的特定单元或工艺流程；2) 能够基于科学原理采用科学方法研究工程问题，设计实验、分析与解释数据，并通过信息处理得到合理有效的结论；3) 能够基于工程相关背景知识进行合理分析。上述能力的培养面向“华盛顿协议”，也是培养具有国际就业市场竞争力的工科人才的基本要求，符合信息时代高校育人要求[1,2]。围绕上述能力培养，针对《数字信号处理》相关课程教学，相关专家和学者从不同角度进行了探讨[3-5]，一线教师更是用多种具体举措大力推进教学改革[6,7]。但是目前本科课堂教学依然多为刷题训练式的应试教育模式[8]。

针对上述情况，本文针对《数字信号处理》中窗函数知识点设计教学案例，由理论到操作加强学生对该知识点的理解和运用。

1 线性相位FIR滤波器的特点

线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种滤波器，其特点可以从三个方面研究，分别为线性相位特性，幅频响应特性和零点分布特点。FIR滤波器具有线性相位的条件是，其单位脉冲响应序列是实数，且满足偶对称或奇对称。幅频特性的对称性与系统单位脉冲响应序列h(n)和N的对称性有关。对应四种情况：1) 当h(n)偶对称，N为奇数时，H(w)关于直线w=0,π,2π具有偶对称的结构；2)当h(n)偶对称，N为偶数时，H(w)关于直线w=π具有奇对称的结构；3)当h(n)奇对称，N为奇数时，H(w)在w=0,π,2π处皆为零，且关于这些点有奇对称的结构；4)当h(n)奇对称，N为偶数时，H(w)在w=0,2π处为零，且关于这些点奇对称。系统函数H(z)在|z|>0处收敛,极点全部在z=0处(因果系统)。上述特性在实际应用中应根据具体要求适当选择，满足滤波器设计要求，优化滤波效果[9]。

2 窗函数法设计原理

窗函数法的基本原理是寻找函数H(ejw)去逼近所要求的理想的滤波器响应函数Hd(ejw)。从单位取样响应序列上看，就是使所设计的滤波器的h(n)逼近理想单位取样响应序列hd(n)。通过截取序列的一段代替无限长序列本身的方法被形象的理解为，有限长序列h(n)好比是一个从窗口看到的无限长序列的一段。因此序列h(n)可以表示为序列hd(n)和一个‘窗函数’的乘积。窗函数的种类有矩形窗、三角窗、汉宁窗、哈明窗、布莱克曼窗、凯赛-贝赛尔窗等。表1为几种窗函数对应的基本参数。本文是通过设计汉宁窗来设计滤波器的。汉宁窗,适用于非周期性的连续信号。在窗函数的选择时需要考虑三个矛盾：1) 肩峰的大小；2) 余振的强度；3) 过渡带的宽窄。所以应适当增加窗口长N,减小主瓣宽度，使过渡带变窄；而尽量使能量集中于主瓣，减少肩峰和余振，这样会增加主瓣宽度，这是相互矛盾的。表1为几种窗函数的基本参数[9]。

表1 六种窗函数的基本参数

窗函数设计FIR滤波器的步骤如下[9]:

1) 根据滤波器类型要求确定带求滤波器的单位脉冲响应序列hd(n)；

2) 根据滤波器衰减及过渡带等技术要求确定窗函数的形式w(n),并估计窗长度N；

3) 计算所设计的滤波器的单位脉冲响应序列h(n)；

4) 验算所设计滤波器是否满足所给定的技术指标要求。

3 滤波器设计过程示例

3.1 语音信号的采集与频谱分析

语音采集于一段高音质的诗歌朗诵，并用相应软件进行剪切处理，截取一段合适长度，并将其保存为后缀是.Wav的形式。在matlab软件平台下利用audioread函数对语音信号进行采样，可以得到声音的数据变量x1,和采样频率fs，并将其放进matlab工作空间。实现程序如下：

[x1,fs]=audioread(' ls.wav' );

sound(x1,fs);

subplot(1,2,1);

figure(1);

plot(x1);

sigLength=length(x1);

Y = fft(x1,sigLength);

Pyy = Y.* conj(Y)/sigLength;

halflength=floor(sigLength/2);

f=fs*(0:halflength)/sigLength;

subplot(1,2,2);

plot(f,Pyy(1:halflength+1));

图1为原始语音信号的波形和频谱图。

图1 原始信号波形和频谱图

3.2 语音信号的加噪与频谱分析

在原始信号上直接加上一个高频余弦噪声，定义噪声函数为d,设计固定频率为8 000 Hz,并对加噪后的语音进行分析，并画出其信号时域和频谱图，与原始信号对比。具体程序如下：

[x1,fs]=audioread(' ls.wav' );

x1=x1(:,1);

f=fs*(0:511)/1024;

t=0:1/fs:(size(x1)-1)/fs;

d=[0.05*cos(2*pi*8000*t)];

d=d.';

x3=x1+d;

sound(x3,fs);

figure(2);

plot(x3);

图2 加噪后信号波形图和频谱图

由图2可知，加过噪音的信号在频率为8 000 Hz处出现幅度峰值，其时域波形出现高频余弦噪音，影响原始信号波形。此时通过sound()函数回放语音，声音发生的严重失真，听不清，伴有嘈杂声，影响信息传递。

3.3 程序调用与分析

在matlab函数窗口中输入fdatool,执行，即可出现滤波器设计界面，在这里我们可以选择滤波器的各种参数，具体界面如图3所示。

由于本课原始语音分析后，频率范围在0～6 500 Hz范围内，噪音固定频率为8 000，在频谱图中表现为8 000 Hz处有一段高峰，因此我们选择低通滤波器，即选择lowpass按钮，我们采用的是窗函数设计FIR数字滤波器，对应的在滤波器设计界面中可以直接选择FIR列表中的window,滤波器的阶数在这里暂时选择的是50阶的，选择汉宁窗，阻带衰减不小于44D=dB,同时可以输入对应的采样频率，采样平率fs=44100,设置截止频率为fc=5 000 Hz,点击Design Filter即可。具体界面如图3。

图3 滤波器设计界面示例

图3为Matlab软件设计滤波器打开的初始画面，可根据要求自主设计参数，满足技术指标。如图3所示，可以选择滤波器类型，低通、高通、带通、带阻。同时可以选择设计滤波器的具体方法，如IIR滤波器设计可以选择巴特沃斯滤波器设计法，FIR滤波器设计则可以选择窗函数法或者是频率采样法等，有很大的灵活性。

从图4可知，本文中滤波器为低通滤波器，用窗函数法设计的FIR数字滤波器，窗口类型是汉宁窗，采样频率值为44 100 Hz，低通滤波器的截止频率为5 000 Hz，并且当频率为8 000 Hz左右时，衰减接近58 dB,因此可以认为噪音被滤除，对应频谱图上则应无相应高峰。

在设计完滤波器后可以得到滤波器参数，定义为HN1，并将其放于matlab的工作空间，以便调用。从频谱图5中我们还可以看出声音的能量信号主要集中在低频部分，说明高频语音信号被滤出，滤波器达到既定要求。具体程序如下：

x3=filter(HN1,1,x2);

figure(3);

subplot(1,2,1);

plot(x3);

sigLength=length(x3);

Y = fft(x3,sigLength);

Pyy = Y.* conj(Y)/sigLength;

halflength=floor(sigLength/2);

f=fs*(0:halflength)/sigLength;

subplot(1,2,2);

plot(f,Pyy(1:halflength+1));

图4 滤波器设计参数设置

图5 滤波后语音信号波形和频谱图

从图5看出噪音所在频率范围内无峰值，说明语音经过滤波后还原为原始语音，滤波器滤除了外加的高频余弦噪音，同时也可以通过Matlab语句播放语音，从听觉进一步验证噪音是否滤除，原始语音是否不失真。通过与原始语音频谱图的对比得出，滤波器上虽然滤除了噪音，但是对原始语音也存在一定影响，因此目前为了更完善滤波效果，可在后续阶段学习自适应滤波法。

4 结束语

本文设计的课堂教学案例,通过对一段原始语音加噪，让学生直观分析频谱特性，在介绍窗函数法及FIR滤波器原理的基础上，基于计算机工具用窗函数法设计FIR滤波器滤除噪音，通过绘制滤波后时域和频域图形与原始波形图比较，分析滤波效果，并通过matlab软件的sound()函数让学生听滤波效果、对比滤波前后语音的清晰度和音质。后续让学生自行调节有关技术指标，验证参数调节会对滤波器产生的影响。通过图形观察、数据分析和工具调用，加深了学生对滤波原理的理解，提高了他们解决问题的能力，达到了预期教学效果。

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[3] 蔡建进.科研结合实践教学培养学生创新思维的探索[J].中国电力教育,2014,324(29):17-19.

[4] 尹振东,吴芝路,赵雅琴.科研创新三要素及研究生创新人才培养途径[J].黑龙江高教研究,2014,246(10):152-155.

[5] 王跃飞,黄斌,孙旭辉,等.卓越计划下创新型工程人才培养方法研究[J].科技视界,2016,4(1):177-216.

[6] 雷庆,苑健.从国家创新体系构成看应用技术人才培养[J].中国高等教育,2015,22(1):34-36.

[7] 贺敬良.高校创新人才培养模式探索[J].中国电力教育,2014,322(27):27-28.

[8] 张进,李玉柏.基于四个融合的通信人才培养模式改革与实践[J].教育教学论坛,2016,2(1):104-105.

[9] 余成波,陶红艳,杨菁,等.数字信号处理及Matlab实现[M].北京：清华大学出版社,2008.