灵活选择参数优化解题思路

薛飞

现行普通高中课程标准实验教科书选修44《坐标系与参数方程》中第33页例3为：

如图， O是直角坐标原点，点A和点B是抛物线y2=2px（p>0）上原点以外的两个动点，若OA⊥OB，OM⊥AB并与AB相交于点M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

本题主要考察直线，抛物线的基础知识，考察由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能.

教材中给出的解答为：

根据条件，设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（2pt21，2pt1），（2pt22，2pt2）（t1≠t2）且（t1·t2≠0），则OM=（x，y），OA=（2pt21，2pt1），OB=（2pt22，2pt2），AB=（2p（t22-t21），2p（t2-t1））

因为OA⊥OB所以OA⊥OB，所以OA·OB=0，即（2pt1t2）2+（2p）2t1t2=0，所以t1t2=-1.①

因为OM⊥AB，所以OM·AB=0，

即2px（t22-t21）+2py（t2-t1）=0，所以

x（t1+t2）+y=0，即t1+t2=-yx（x≠0），②

因为AM=（x-2pt21，y-2pt1），MB=（2pt22-x，2pt2-y），且A，B，M三点共线，

所以（x-2pt21）（2pt2-y）=（y-2pt1）（2pt22-x），化简得y（t1+t2）-2pt1t2-x=0， ③

将①②代入③，得到y（-yx）+2p-x=0，即x2+y2-2px=0（x≠0）这就是点M的轨迹方程.

本题是由2000年春季高考试题（北京，安徽卷）改编而来的，当时命题组给出的解答为：

因为点A，B在抛物线y2=2px上，故设A（yA22P，yA），B（yB22p，yB），若再设OA，OB的斜率分别为kOA，kOB，则kOA=yAyA22p=2pyA，kOB=2pyB.

由OA⊥OB得： kOA·kOB=4p2yAyB=-1…（1）；由点A在AB上，得直线AB方程为：（yA+yB）（y-yA）=2p（x-yA22p）…（2）；由OM⊥AB得直线OM方程为：y=yA+yB-2px…（3）.

设点M（x，y），则x，y满足⑵⑶两式，将⑵式两边同乘以-x2p，并利用⑶式整理得：x2pyA2+yyA-（x2+y2）=0…（4）.

由⑶⑷两式得-x2p+yByA-（x2+y2）=0；又由⑴式有yByA=-4p2.

所以x2+y2-2px=0.又因为A，B是原点以外的两点，所以x≠0.

所以，所求的軌迹为以（p，0）为圆心，以p为半径的圆，去掉坐标原点.

在题目中，有四个已知条件：①点A和点B是抛物线上的两个动点，②OA⊥OB，③OM⊥AB，④OM与AB相交于点M.上述两种解法大同小异，都是先利用了条件①，用两个参数设出了A，B的坐标，再利用其他的条件寻找出了参数之间的关系式而获解.但在寻找参数之间的关系时比较困难，并且本题的命题目的之一为考察学生化简方程的基本技能，但在教学实践中发现，上述解法中对关系式的处理技巧性过强，学生难以想到，不易掌握.习题课上，笔者把该题展示给学生，让学生自己探讨其解法，结果从不同的角度入手，设出不同的参数，获得了多种既好想又容易化简的多种解法.

解法1 设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则由题意有：

y21=2px1…（1），y22=2px2…（2），

y1y2x1x2=-1…（3），y1-y2x1-x2=-xy…（4）.

（1）-（2）并代入（4）得：y1+y2=-2pyx…（5）. （1）×（2）并代入（3）得：y1·y2=-4p2…（6）.

（1）+（2）并整理得：（y1+y2）2-2y1y2=2p（x1+x2），代入（5）（6）两式得：x1+x2=2py2x2+4p…（7）.

由（5）（7）知AB的中点D的坐标为（py2x2+2p，-pyx）.

由题意，M，D，A，B四点共线，从而有：kAB=kMD，

即y1-y2x1-x2=y+pyxx-py2x2-2p=-xy，

整理得：x2+y2-2px=0.

又易知x≠0，故所求的轨迹为以（p，0）为圆心，以p为半径的圆，去掉坐标原点.

评注这种解法通过设出A，B的坐标，利用四个条件获得⑴⑵⑶⑷四式，对这四个式子进行处理得到A，B中点D的坐标，再由M，D，A，B四点共线而获解.虽然设出了四个未知数，列出了众多的关系式，但通过对关系式的处理得到中点坐标，学生比较熟悉，不难操作，因此易于学生掌握.

解法2由题意，直线OA存在斜率，设其方程为y=kx，则OB的方程为y=-1kx.分别与y2=2px联立，得A（2pk2，2pk），B（2pk2，-2pk）.从而可得直线AB的方程为：y+2pk=k1-k2（x-2pk2），即： y=kk2-1（-x+2p）.

设M（x，y），由OM⊥AB知，kOM·kAB=-1，且点M在直线AB上，故有：

yx=k2-1k，

y=kk2-1（-x+2p）.

消去参数k得x2+y2-2px=0（以下同解法1）.

评注这种解法通过转换视角，视A.B为抛物线与OA，OB的交点，通过解方程组求得A，B的坐标，得到AB所在直线的方程，再由点M在直线AB上及相应的斜率关系而获解.只设出了一个参数，解法简捷，但要注意消去参数k时的灵活性.

解法3当AB所在直线不存在斜率时，易知此时M为一定点，坐标为（2p，0）.

当AB所在直线存在斜率时，设其方程为y=kx+b（k≠0），则A，B是该直线与抛物线的交点.

由y=kx+b

y2=2px得：k2x2+2（kb-p）x+b2=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=2（p-kb）k2，x1x2=b2k2.

所以y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=2pbk.

由OA⊥OB有y1y2x1x2=-1，即y1y2+x1x2=0.

所以b=-2pk…①

设M（x，y），由OM⊥AB，有yx·k=-1，即k=-xy…②由①②及y=kx+b消去k，b得：x2+y2-2px=0.

又易知x≠0且（2p，0）也满足上式，所以点M的轨迹方程为：x2+y2-2px=0（x≠0）（以下同解法1）.

评注这种解法视A，B为直线AB与抛物线的交点，通过设出AB直线的方程，将问题转化为直线与抛物线相交问题，利用韦达定理获得关系式，再结合其他条件而获解.虽然有两个参数，但参数间的关系简捷、直观，极易消去参数，非常容易操作.需要注意的是，不要忽视AB不存在斜率时的特殊情况.

解法4设M（x0，y0），当y0≠0时，由OM⊥AB及OM与AB相交于点M可知直线AB方程为：y-y0=-x0y0（x-x0）.

与y2=2px联立并消去x得

y2+2py0x0y-2p（x20+y20）x0=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-2py0x0，y1y2=-2p（x20+y20）x0.再由y2=2px方程有x1x2=（y1y2）24p2=（x20+y20）2x20.

因为OA⊥OB所以OA⊥OB，所以OA·OB=0，即x1x2+y1y2=0.

即（x20+y20）2x20-2p（x20+y20）x0=0，

整理得： x20+y20-2px0=0.

又当y0=0时，M是一定点（2p，0），也满足上式，所以点M的轨迹方程为：x2+y2-2px=0（x≠0）（以下同解法1）.

评注上述解法利用轨迹的定义，设出M的坐标，根据条件③④得到直线AB的方程，从而将问题转化为我们熟悉的直线与曲线相交问题，获得点A，B的坐标之间的关系式再由条件②处理相应的关系式而获解.这种解法直观、易懂，但运算的综合性大，稍不注意，就会出错.

綜观上述，解题中从不同的角度入手思考，选择不同的参数，会得到不同的解法，且各种解法难易程度，繁简程度差别较大.因此，在平时的学习中，同学们应注意多思多想，善于总结，养成良好的思维习惯，从中选择最简捷的解法.

介绍一道原创“数学文化”高考模拟题本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”（课题编号FT2017GD003，课题负责人：甘志国）阶段性研究成果.