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意外的提问精彩的生成

2018-05-08王凤春张冰

中学数学杂志(初中版) 2018年3期
关键词:糖水中学数学例题

王凤春 张冰

在选修教学中,为了证明不等式aba>0,m>0),我作了如下教学设计.

1教学设计

例题若水杯中的b克糖水里含有a克糖,假如再添上m克糖,糖水会变得更甜,试将这一事实用数学关系式反映出来,并证明之.

分析本例实质上是化学问题,由浓度概念可知aba>0,m>0),即糖水中加糖甜更甜.

注保和溶液时,m有取值范围.

解师生合作给出了如下证明.

证法一(比较法)a+mb+m-ab=b(a+m)-a(b+m)b(b+m)=m(b-a)b(b+m).

因为b>a>0,m>0,所以b-a>0,b+m>0,所以m(b-a)b(b+m)>0,即a+mb+m>ab.

证法二(放缩法)因为b>a>0且m>0,所以ab=a(b+m)b(b+m)=a+abmb+m

瘙 綊 BD,

因为△ABC∽△ADF,

所以ab=a+mb+CF

完成证明,师生共同给出如下推广:

设真分数a1b1

则a1b1

原来的教学设计是推广(*)后,讲解两道基本例题,便完成本课的教学.但是,学生甲追问(*)如何证明?这个提问既打乱了教学设计,也激发了学生的思考.课堂上片刻的沉静后,学生乙受生活模型,即上述糖水混合的启发,给出了如下证明.

2意外生成

2.1化学模型

有一种化学溶液,装在标号分别为1号,2号,…,n号的瓶中,其溶质和溶液的质量分别是(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),且浓度满足a1b1

若将1号,2号混合,其浓度为a1+a2b1+b2,所以有

a1b1

将1号,2号,3号混合,其浓度为a1+a2+a3b1+b2+b3,

所以有a1b1

依次類推,(*)式成立.

这个模型直观易懂,无需数学的逻辑推理,说出了(*)式的本质.

2.2几何模型

图2如图2,设AC1=a1,AA1=b1,A1D2=a2,A1A2=b2,A2D3=a3,A2A3=b3.

因为a1b1

显然有a1b1

a1b1

经过一番讨论,学生甲给出这个模型,全班学生无言,同学们对他们竖起了大拇指,一种成功感溢于言表,我也为弟子们的精彩表现而自豪.

3精彩应用

学生的精彩发现,让我对学生的思维有了更高的预期,于是我改动了例题,把原本当做思考题的题目作为课堂练习.

练习(2013年北大保送生)

已知:正数a,b,c,满足a

求证:a1+a

证明:因为ab+c+bc1+b+c+bc>b+c1+b+c>a1+a.

应用公式,学生很快给出了上述解答.学生意犹未尽,但此时铃声已响……

课后反思本课由于一位学生的疑问,引发了全班学生的思考.两个模型的建立,让学生产生兴奋惊奇,无字的证明,将课堂气氛推向高潮,扣人心弦.其间,老师及时捕捉学生灵光闪现的思维火花,调动学生积极参与,充分暴露学生的思维过程,才有如此大的收获.模型二实质上是对不等式链的几何解释.如何落实中学数学核心素养,设计具有挑战性的问题,深度学习,启发学生的高阶思维是个有效的途径,新课程以学生发展为本的口号喊了多年,然而,课堂教学真正体现这种理念,还需经常反思自己的教学行为.学生带着自己的知识、经验、思考、兴趣参与课堂活动,可以独立思考、个性化理解、自由表达,可以质问、怀疑、批判教师观点或教材观点,从而使课堂教学呈现出多样性、丰富性和随机性.这样的教学对教师提出了新的要求,不仅要有新的理念,还必须具有深厚的学科底蕴,才能把握课堂,使课堂教学焕发出生命活力.

作者简介王凤春(1962—),男,江苏徐州市人,上海市特级教师,上海师范大学数理学院硕士生导师.主要研究方向为中学数学教育和教育科研.出版《中学数学教育科研》等著作;解决了最优化问题中 Lagrange乘数法的相关问题,论文发表在《高等数学研究》.

张冰(1979—),女,湖北黄冈市人,中学高级教师,主要研究方向为高中数学教学和教育科研,宝山区学科带头人,宝山区教育学院高中数学兼职教研员.

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