线性规划问题的实际应用

王震

线性规划是现代数学中研究最优化理论的重要模型.它的实际运用范围十分广泛，从解决技术问题的最优化到工业、农业、商业、交通运输、经济、军事等众多领域都发挥作用.简单线性规划这部分内容体现了新教材重视数学应用，重视知识的发生发展过程，贴近生活的特点.为了让学生学好简单线性规划知识，提高学生运用线性规划知识解决实际问题的能力，本文对高中数学中线性规划问题的应用进行了剖析，对此类问题的求解思想和一般步骤作了较详细地阐述.

1整数最优解的确定

求最优解的问题，特别是当实际问题要求最优解是整数时，这是线性规划问题图解法中最重要而且是最难完成的一个环节，怎样来确定符合条件的整数最优解呢？主要方法有四：

（1）直接求解法，适用于多边形的角点坐标恰好是整数最优解；

（2）观察法，此法适用于由可行域直接可看出的；

（3）边界找点法；

（4）进一法或去尾法.后两种方法是不能直接求得又不能由图看出的情况下来运用的.

它既需要由图形的直观性又需要适当的计算，应用数形结合的数学思想.

例1某运输公司有7辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，有9名驾驶员.在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青360t的任务.已知每辆卡车每天往返次数为A型8次，B型6次，每天运输成本为A型160元，B型252元.每天应派出A型、B型车各多少辆，能使公司总成本最低.

解分析列表如下：

目标函数：z=160x+252y.

由图1可知，当l：160x+252y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点A，y轴截距b=1252z最小，即z最小.

由方程组4x+5y=30，

x=7.

解得點A（7，25）.25不是整数.调整，整数解为最优点E（5，2）.

当x=5，y=2时，总成本z=160×5+252×2=1304（元）.此时运输沥青吨数为8×6×5+6×10×2=360（t）.

即每天应派A型车5辆，B型车2辆，总成本1304元最低，并能运沥青360吨.

在上述解答中，虽然可行域给出目标函数z的最小值，但不符合实际问题的最优解是非负整数的条件，这时应该进行调解.“就近原则”.本题中与点A最近的整点是F（7，1），此时总成本z=160×7+252×1=1352（元），比 z=1304（元）高，所以调整的关键是寻求与可行域边界接近的整点（不妨简称边界找点法）.也就是缩小可行域来寻找它的整数解，如果整点数不止一个，则逐个比较目标函数的取值，确定最优整点，得到最优解.

例2要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种不规格的小钢板的块数如下表所示：

钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123解今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格的成品，且使所用钢板张数最少解：

设两种钢板分别要x，y张，则其线性约束条件为：

2x+y≥15，

x+2y≥18，

x+3y≥27，

x≥0，y≥0.作出可行域如图2所示，

图2其目标函数为z=x+y.

（那么，怎样寻找其最优整数点呢？分解小步骤如下：）（步骤1）作出一组平行直线x+y=t中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线；

（步骤2）此直线经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A（185，395）；

（步骤3） 过交点A（185，395）的目标函数线的方程为x+y=575；

（步骤4） 由于185，395都不是整数，所以可行域内的点A（185，395）不是最优解；

（步骤5） 找出与575=11.4（x+y=575）接近的，且适合题意的整数解（此法简称为进一法或去尾法）.经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12；

（步骤6） 所以适合题意的整点为B（3，9），C（4，8），即为所求最优解.

2阴影部分面积的确定

例3在直角坐标平面内，有两个区域M和N，M是由y≥0和y≤x，y≤2-x这三个不等式确定；N是随t而变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1决定，t的取值范围0≤t≤1，求M和N的公共部分的面积S（t）.

解设定区域M为不等式组y≥0，

y≤x，

y≤2-x，

所围成的区域，即△AOB所围成的区域（含边界）（图3）.图3 动区域N是两条动直线x=t，x=t+1（0≤t≤1）所构成的带状域.

因此，M和N的公共部分为图3的阴影部分（含边界）的面积，此面积为两个梯形面积之并.

即S（t）=12（1+t）（1-t）+12[1+（1-t）]t =-t2+t+12（0≤t≤1）.

3参数取值范围的确定

例4如图4所示，当方程x2+ax+b=0的一根在-2和-1之间，另一根在1和2之间时，用图形表示以a，b为坐标的点（a，b）的存在范围.

解如图4，设fx=x2+ax+b，依题意，得

f（-2）=4-2a+b>0，

f（-1）=1-a+b<0，

f（1）=1+a+b<0，

f（2）=4+2a+b>0.即b>2a-4，

b

b<-a-1，

b>-2a-4.图4图5在a，b坐标平面内作出该不等式组的平面区域如图5的阴影部分（不包括边界）为（a，b）的取值范围.

二元一次不等式组的平面区域，实际上就是二元一次不等式组的几何表示.解题时，依题意，作出约束条件的公共部分，就能直观地解决所求问题.

中学数学中的线性规划内容既给传统的教材注入了新鲜的“血液”，又给学生提供了学数学、用数学的实践机会，同时促进了与不等式、方程、函数等知识的整合.通过本知识的学习，学生将初步掌握线性规划的一些基本理论、一般方法，将为线性规划知识的后续学习打下基础，为线性规划知识的广泛应用拿到一枚入门的钥匙.