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一类条件可化为“∏x=1”的不等式研究

2018-05-08牛伟强张丽玉

中学数学杂志(初中版) 2018年3期
关键词:通报证明探究

牛伟强 张丽玉

【摘要】不等式的证明方法灵活多样,因而证明不等式有利于培养学生的数学探究意识和数学探究能力.这篇文章首先探讨了一类条件可化为“∏x=1”的不等式研究的概况,其后给出了研究的主要结论,最后文末提出了三个猜想供有兴趣的读者进一步研究.

【关键词】不等式;∏x=1;述评

1引言

2003年安振平[1]提出问题(数学问题解答1435):设a,b>0,求证:

aa+3b+b3a+b≥1.(1)

这个问题犹如一颗火星,引发了一系列相关的研究,见文[2-11].2006年贺中杰[12]提出问题(数学问题解答1613):设a,b,c∈R+,λ≥0,求证:

a2+λb2a+b2+λc2b+c2+λa2c≥31+λ.

他用反证法证明了上述不等式并且指出原不等式其实可以推广到:设xi∈R+,∏ni=1xi=1,λ≥0,i=1,2,…,n,n≥2,则:

∑ni=11+λ≥n1+λ.(2)

后来,蔡晓兰(2009)[13]又从几何角度给出了不等式(2)的一个证明,然而关于上述两个不等式的联系目前似乎尚未有人发现.

不等式(1)可以改写为:设xi∈R+,x1x2=1,则:

∑2i=1(1+3xi)-12≥21+3-12.

不等式(2)可以改写为:设xi∈R+,∏ni=1xi=1,λ≥0,则:∑ni=1(1+λxi)12≥n1+λ12.

观察可以发现上述两个不等式的形式几乎一模一样,这引起了我们对下列问题的深深思考.设xi∈R+,∏ni=1xi=1,那么λ和k满足什么样的条件时,则有:

∑ni=1(1+λxi)k≥n(1+λ)k.(*)

为了避免重复的工作,我们首先对不等式(*)相关的文献做了系统的梳理.

2研究概况蒋明斌(2004)[2]最早注意到了不等式(1),他对这个不等式进行了推广,得到如下两个优美的不等式.设a,b>0,若λ≥3,則:

aa+λb+bλa+b≥21+λ,(3)

若0<λ≤2,则:

aa+λb+bλa+b≤21+λ,(4)

李永利(2005)[3]对不等式(3)进行了研究,得到了一个指数推广的不等式.设a,b>0,n≥2且n∈N,若λ≥2n-1,则:

naa+λb+nbλa+b≥2n1+λ. (5)

上述不等式岳嵘(2007)[7]、李凤清(2014)[11]也都给出了证明,并且给出了一个更加完整的结果.郭要红(2006)[4]则对不等式(4)进行了研究,他用微分法证明了a,b>0,0<λ≤3时:

3aa+λb+3bλa+b≤231+λ.

最后,他还提出了一个漂亮的猜想:设a,b>0,n≥2且n∈N,若0<λ≤n,则:

naa+λb+nbλa+b≤2n1+λ. (6)

后来,不少学者[5-7,10-11]都证明了这个猜想的正确性.关于不等式(6),目前一个较新的研究结果属于尚生陈(2009)[8],他证明了a,b,c∈R+,当0≤λ≤n时,有:

naa+λb+nbb+λc+ncc+λa≤3n1+λ. (7)

对于不等式(5),李建潮(2008)[9]则用反证法证明了一个n元的一般结论:

设ai>0(i=1,2,…,n,n≥2且n∈N,an+1=a1),k≥2且k∈N,λ≥nk-1,则:

∑ni=1kaiai+λai+1≥nk1+λ.(8)

事实上,不等式(8)可改写为:设xi∈R+,∏ni=1xi=1,λ≥nk-1,k≥2且k∈N,则:

∑ni=1(1+λxi)-1k≥n(1+λ)-1k.

这个不等式是极漂亮的,它其实就是不等式(*)当指数为负数时的一种特殊情况,而不等式(1,3,5)则是几种最简单的情况.那么当指数为正数时,又会得到怎样的结果呢?根据与不等式(2)的类比,我们证明了下面的结论.

3主要结果

定理设xi∈R+,∏ni=1xi=1,若k≥0,则当λ≥0时,有:∑ni=1(1+λxi)k≥n(1+λ)k

证明k=0时是显然的.当k>0时,由均值不等式可知

∑ni=1(1+λxi)k≥nn∏ni=1(1+λxi)k,

故只需证明

nn∏ni=1(1+λxi)k≥n(1+λ)k,

即证明∏ni=1(1+λxi)≥(1+λ)n.

令f(λ)=∏ni=1(1+λxi),g(λ)=(1+λ)n,

因为fλ=∏ni=11xi+λ=∑nj=0λj(∑1xi1xi2…xij),其中∑1xi1xi2…xij表示1x1,1x2,…,1xn中任意j个(共Cjn个)数的乘积再求和,gλ=1+λn=∑nj=0λj(Cjn).

所以只需证明∑1xi1xi2…xij≥Cjn,

再次使用均值不等式得

∑1xi1xi2…xij≥CjnCjn∏1xi1xi2…xij

其中∏1xi1xi2…xij表示1x1,1x2,…,1xn中任意j个(共Cjn个)数的乘积再求积.由于每个xi都恰好出现Cj-1n-1次,所以∏xi1xi2…xij)=xCj-1n-11xCj-1n-12…xCj-1n-1n=1.

故∑1xi1xi2…xij≥Cjn,等号成立时x1=x2=…=xn=1.

于是,fλ≥gλ,所以原不等式成立.

这样当k≥0时,不等式(*)成立的条件就解决了.当k<0时,还有一些遗留的问题需要进一步分析.

4遗留问题

读者可能已经注意到了不等式(4,6,7)都是反向的,仔细观察可以发现原因在于参数λ的取值范围发生了变化.也就是说当k<0时,不等式(*)可能成立也可能反向成立.

甘义宁(2014)[10]证明了下面的命题.设a,b>0,若α>1,λ≥1α,则:

aa+λbα+bb+λaα≥2(1+λ)α

上面的命题可以改写为:∑2i=1(1+λxi)-α≥21+λ-α.因为α>1,所以-α<-1,也就是说当指数k<-1时,不等式(*)的二元形式是成立的.

尚生陈(2009)[8]给出了一个三元不等式的证明.设x,y,z∈R+且xyz=1,0≤β≤1,0≤λβ≤1,则:

11+λxβ+11+λyβ+11+λzβ≤3(1+λ)β

这个不等式可以改写为:∑3i=1(1+λxi)-β≤31+λ-β.因为0≤β≤1,所以-1≤-β≤0,也就是说当指数-1≤k≤0时,不等式(*)的反向三元形式是成立的.最后,通过对上述不等式特征的归纳和类比,我们提出几个问题留给有兴趣的读者进一步研究.

猜想1:设xi∈R+,∏ni=1xi=1,-1≤k<0,0≤λ≤n時,则有:

∑ni=1(1+λxi)k≤n(1+λ)k.

猜想2:设xi∈R+,∏ni=1xi=1,-1≤k<0,λ≥n-1k-1时,则有:

∑ni=1(1+λxi)k≥n(1+λ)k.

猜想3:设xi∈R+,∏ni=1xi=1,当k<-1,λ≥-1k时,则有:

∑ni=1(1+λxi)k≥n(1+λ)k.

参考文献

[1]安振平. 数学问题解答-1435[J]. 数学通报, 2003(5):8.

[2]蒋明斌. 一个数学问题的证明推广及其它[J]. 数学通报, 2004(9):34-34.

[3]李永利. 一个不等式的指数推广[J]. 数学通报, 2005(11):63-64.

[4]郭要红. 一个无理不等式的类比[J]. 数学通讯(教师阅读), 2006(9):30-30.

[5]有名辉. 一个不等式的纠错、推广及统一证明[J]. 中学数学教学, 2009(1):58-59.

[6]李建潮. 一个猜想不等式的证明[J]. 数学通讯, 2006(21):36-37.

[7]岳嵘. 一个无理函数的值域[J]. 高等继续教育学报, 2007(3):27-29.

[8]尚生陈. 一个不等式的再推广及一个猜想的证明[J]. 中学数学教学, 2009(4):57-58.

[9]李建潮. 一道IMO试题引发的思索[J]. 中小学数学(高中版), 2008(9):44-45.

[10]甘义宁. 一个无理不等式猜想的推广及其证明[J]. 数学通报, 2014, 53(3):62-63.

[11]李凤清. 对一对姊妹无理不等式的探究[J]. 四川职业技术学院学报, 2014, 24(5):148-149.

[12]贺中杰. 数学问题解答-1613[J]. 数学通报, 2006(6):47-48.

[13]蔡晓兰. 一个“数学问题”的几何证明[J]. 数学通报, 2009(5):61.

作者简介牛伟强(1983—),男,河南郑州人,华东师范大学数学系博士研究生,主要研究方向:数学方法论与数学教育.

张丽玉(1974—),男,江西南昌人,华东师范大学数学系博士研究生,主要研究方向:数学方法论与数学教育.

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