用修正的割线法求解奇异问题

初元红 马红娟 郑喜英

摘 要 为了求解奇异问题，在Hilbert空间中，将割线法和外推技巧相结合得到新的迭代格式，其收敛速率为0.3.未改进的割线法的收敛速率0.618，改进的割线法收敛速率得到大大的提高.同时，该算法对于一般的Banach空间同样适用.最后，通过数值实验验证了这一结果.

关键词 Hilbert空间；改进的割线法；奇异问题；几何特征；收敛速率

中图分类号 O241文献标识码 A文章编号 1000-2537（2017）06-0087-06

Abstract In Hilbert space， we modified secant method with the extrapolation technique in order to solve the singular problems. The convergence rate of the new iteration is 0.3 rather than 0.618 of the original. So the convergence rate of the modified secant method is distinctively improved， which is also applicable to the general Banach space. Finally， numerical experiment is presented to confirm this result.

Key words Hilbert space； modified secant method； singular problems； geometry character； convergence rate

计算科学的快速发展，使很多实际问题如工程问题、生物问题等转化为求解非线性方程.对于一般常规方程如非奇异问题，比较成熟的方法如Newton法、割线法等.其基本思想是利用前面获得的关于方程左端函数的信息—在函数充分光滑的前提下，逐步迭代转化为零点的信息[1-4].当导算子的逆不存在时如奇异问题，无论是算法的收敛条件、收敛性还是收敛速率都受到很大的影响，于是Rall，Decker和Kelley[5-8]等人针对奇异问题进行了研究，发现Newton法在一个星形区域内虽然收敛，但收敛速度较慢仅为线性收敛.之后，在奇异点处算法的收敛性和加速成为众多学者关心的一个课题[9-12].潘状元[10]证明了割线法收敛速度相对较快并得到了渐进收敛率为0.618.本文修正了割线法，使得渐进收敛率提高到0.30，进一步提高了算法的效用.

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