高二数学中直线平面平行的判定及性质分析

王明轩

【摘要】直线平面平行是高二数学中的重难点知识，不仅要求学生有着清晰的解题思路，而且还需要学生具备较强的逻辑推理能力、空间想象能力以及运算能力。纵观近几年全国各地高考题，有关直线平面平行的判定及性质的题目一直是重点考核内容，同时也是学生容易丢分的知识点。为提高学生数学综合能力及数学教学质量，在高二数学教学过程中，便尤为重视直线平面平行的判定及性质的讲授，文章对此进行了深入分析，旨在提供教学指导。

【关键词】高二数学 直线平面平行 判定 性质

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）09-0105-02

线线平行、线面平行、面面平行，均是空间几何体中的平行关系，是将点、线、面基础知识与空间模型相结合，延伸出来的更具难度及思考性的知识，这部分内容集中在高二《直线平面平行的判定及性质》课时章节中。通过对该部分知识的学习，不仅能够将之前所学知识加以融汇贯通，而且还可以能够帮助学生形成滑轨和转化思想，有助于学生逻辑推理能力、空间想象能力、动手操作能力、数学符号及图形表达能力等综合素质的提升，对促进学生的全面发展具有重要意义，所以必须提高对该章节内容教学的重视力度。

一、高二数学中直线平面平行的判定及性质教学目标

直线平面的判定及性质知识点，在高中数学教材中占有很大比重，该章节的教学目标具体体现在以下几方面。第一，对重难点知识的掌握。能够利用空间想象能力，在脑海中形成对之直线与平面位置关系的空间认知，能够利用利用直线平面平行的相關性质，推导出平行判定定理并将其加以灵活运用。第二，学习能力的培养。采用启发式、发现式教学方法，引导学生在观察模型、动手操作及推理论证过程中，使其逐步具备较强的观察能力、空间思维能力、作图能力、逻辑推理能力等，有助于学生数学思想的培养。第三，情感态度及价值观念的形成[1]。师生针对数学问进共同探究和讨论，使学生能够积极参与到学习过程中去，获得良好的学习体验，在解决问题后收获成功的喜悦，感受到数学学习中的乐趣，帮助学生树立实事求是、探索创新的求知精神。这些都是直线平面平行的判定与形式章节预期实现的教学目标。

二、高二数学中直线平面平行的判定方法

在解答直线平面平行的判定及性质题目之前，应先理解并掌握线线平行、线面平行和面面平行的判定方法。

1.线线平行判定方法

在判定线线平行时，主要有三种方法能够实现。第一种，公理4。如果两条直线与另外一条直线均为平行关系，则者两条直线平行。第二种，线面平行的性质定理。当一条直线平行于某一平面，且该平面平行于该直线所在平面，则该直线与两平面相交处所形成的直线平行。第三种，平行平面的性质定理。当两个平面为平行关系，均于另外一个平面相交，此时在相交处所形成的两个直线为平行关系[2]。

2.线面平行判定方法

对于线面平行判定方法主要有三种，要求学生应全部掌握。第一种，借助线面平行判定定理实现。当平面内的任意一条直线与其平面外任意一条直线为平行关系时，则平面外这条直线与该平面平行。需要注意的是在使用该方法推导线面平行时，应注明两条平行直线分为位于平面内和平面外，否则推理证明过程论证不充分[3]。第二种，利用面面平行性质。当一个平面平行于另一平面时，则两个平面内的所有直线均为平行关系。第三种为向量法，需要结合向量坐标知识进行推导，推理过程详见第三部分例题解析。

3.面面平行判定方法

面面平行的判定，所用方法也有三种。第一种，借助面面平行的判定定理。当同时位于同一平面内的两条直线为相交关系，且与另外一个平面为平行关系时，则两条直线所在平面与该平面平行。第二种，利用平行平面的判定定理进行推导。如果两个平面中分别有两条相交直线为平行关系，则两条平面为平行关系。第三种，向量法。当位于两个不同平面内的法向量为平行关系，则者两个平面之间的关系也是相互平行的[4]。

三、高二数学中直线平面平行的判定及性质例题解析

直线平面平行的判定及性质作为高考中的重难点内容，要想帮助学生真正掌握该部分知识，就需要结合常见题型进行分析，在逻辑推理与论证过程中得到问题的最终答案。

1.线线平行的判定

为深入理解显现平行的判定定理，便于对相关题目进行推导论证，此次研究中借助一道例题进行分析，该例题条件及问题如下。已知在空间中存在一四边形ABCD，该四边形四边AB、BC、CD、DA的中点分别用E、F、G、H表示，论证该四边形内四边中点所组成的四边形为平行四边形。

在解答该道题目时，要想证明EFGH为平行四边形，只需证明一组对边相等且平行或者两组对边分分别平行即可。在这两种推理方法中，都需证明线线平行，所以就需要利用线线平行判定定理来解决该问题。具体解题思路需要寻找一条直线分别，与EFGH四边形中的一组对边都为平行关系，然后再证明两者相等或者另外一组对边平行，即可得到该四边形为平行四边形。

为更方便的解答此类问题，一般都需要通过作图更加直观的呈现直线平面的空间关系，具体如图1所示。如图所示，分别连接A、B、C、D四个点组成空间四边形，在连接E、F、G、H四个点组成平面四边形。因为E、F、G、H四点分别为四边形ABCD各边的中点，则根据三角形相关知识可知，在△ABD和△BCD中，EH和FG分别为中位线，所以EH平行于BD，且EH=1/2BD，FG平行于BD，且FG=1/2BD。依据以上推理结论，再结合线线平行公理4可知，EH平行于FG，且两者相等均为BD的1/2，则可证明四边形EFGH为平行四边形。

2.线面平行问题的解决

对于线面平行类题目的推理论证，可通过多种方法实现。以某道例题为例，如图2所示，四边形ABCD和四边形ACEF分别为正方形和矩形，两个四边形位置关系为垂直关系，已知AB长度为，AF长度为1，线段EF中有一中点为M，证明直线AM平行于平面BDE。

在解答该题目解题时，首先可以利用线面平行判定定理，在平面BDE中找出一条直线平行于直线AM，即可通过推理得到证明。其次可以采用向量法证明直线AM所在向量平行平面BDE某条直线所在向量即可，证明线面平行[5]。

具体解题过程如下：第一种，分别连接正方形ABCD四个相对顶点相交于点G，则G点为线段AC和线段BD的中点。四边形ACEF为矩形，则EF与AC相互平行，则EM与AG平行，又因为在线段EF中M为中点，所以可知EM与AG相等，因此可知四边形AGEM为平行四边形，所以两两对边分别平行，则EG平行于AM。因为EG在平面BED中，AM在平面BED外，此时根据线面平行判定定理可知，直线AM平行于平面BDE。第二种，分别以向量CD、CB、CE为正交基底，建立空间直角坐标系，根据题目条件，可知A、B、D、E、M坐标分别为（）、（）、（）、（0，0，1）、（），则向量AM、DE、BE大小分别为（）、（）、（），由此可知向量DE与向量BE之和等于两倍的向量AM。又因为直线AM不在平面BDE内，由此可知直线AM平行于平面BDE。另外，仍然以向量CD、CB、CE分別正交基底，建立空间直角坐标系，则A、M、G、E四点坐标分别为（）、（）、（）、（0，0，1）。计算可以得到向量GE和向量AM大小分别为（）、（），由此可知向量GE与向量AM相等，则可以得知两者为平行关系。又因为直线GE在平面BDE内，直线AM不在平面BDE内，则可以证明直线AM平行于平面BDE。

3.利用线面平行解决面面平行

已知题目内容为：某三棱准S-ABC中，平面SAB内支线AB垂直于平面SBC内支线BC，且两平面也相互垂直，三角形SAB中SA和AB长度相等。经过A点做直线AF垂直于直线SB与F点，在三角形SAC中，F、G两点分别为SA和SC两条边的中点。证明平面FEG与平面ABC相互平行。三棱准S-ABC内的线面关系如图3所示。

在解答这道题目时，要想证明平面FEG与平面ABC平行，可以利用转化思想通过证明线面平行即可。具体思路是证明平面FEG内两条相交直线平行于平面ABC，而对于线面平行的判断则需要先证明线线平行。所以，该道题目的解题关键，便是在平面ABC内找打一条直线平行于平面FEG内两条的相交直线。

论证推理过程为：在三角形SAC中，因为E、G分别为SA和SC两条边的中点，则可以得知直线EG为三角形SAC的中位线，EG平行于AC，且等于AC的1/2。因为AC在平面ABC内，EG在平面ABC外，则根据线面平行判定定理可知，EG平行于平面ABC。因为AS等于AB，直线AF与直线SB相互垂直，所以F为直线SB的中点，由此可知直线EF与直线AB相互平行。因为AB在平面ABC内，EF在平面ABC外，由此可知EF平行于平面ABC。因为直线EG、EF都在平面EFG内，相较于点E，所以可知直线AC平行于平面EFG，则根据面面平行判定定理可知，平面FEG平行于平面ABC。

四、结束语

熟练掌握高二数学中直线平面平行的判定及性质相关知识点，不仅能够帮助学生取得良好的学习成绩和考试成绩，更重要的是培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力、作图运算能力等，进而使学生的数学综合素养得到提升，有利于学生的全面发展。所以，在教学过程中，必须采取科学有效的教学方法，发散学生思维，传授学生解题技巧，进而才能更好的解决此类问题。

参考文献：

[1]张彬.在“追问”中完善知识，于探究中感悟本质——“直线与平面平行的判定”教学设计[J].中学数学，2015，（1）：10-12.

[2]李从清.直线、平面平行的判定与性质[J].数学教学通讯，2015，（35）：16-18.

[3]徐解清.数学核心素养：从内隐走向外显——《直线和平面平行的判定》的教学思考[J].数学通报，2017， （7）：24-27.

[4]陆学政.“直线与平面平行的判定”教学设计与思考[J].中小学数学：高中版，2014，（3）：8-11.

[5]倪春霞.渐进式教学在高中教学实践中的具体应用——以“直线与平面平行的性质”教学为例[J].亚太教育，2016，（19）：44-44.