变权组合模型在卫星钟差预报的研究

魏自来，朱晓强

(韶关市测绘院，广东 韶关 512000)

1 引 言

GPS卫星在运行过程中受到诸多误差的影响，卫星钟差是其中不可忽视的一项，获得精确的卫星钟差是进行高精度导航定位[1]的前提，而IGS站未提供实时和外推的精密钟差，因此，研究高精度钟差预报方法具有重要意义。目前，常用的卫星钟差预报方法主要有二次多项式模型、灰色GM(1，1)模型、ARMA模型和神经网络模型等[2～4]。GPS卫星在空间中受到不确定的因素影响导致其性能非平稳，单一模型由于局限性难以对卫星钟差进行高精度的预报，而组合模型能够一定程度上克服单一模型预报精度不高的缺点，提高预测精度。王永刚等[5]提出最优变权组合模型预测航空运输事故征候，提高了预报的可靠性；吴海清等[6]将变权组合模型应用于建筑物沉降，取得了较好的效果；任超等[7]将最优非负变权组合模型用于大坝变形监测，一定程度上提高了预测精度。李飞达等[8]提出基于二次多项式、灰色GM(1，1)和ARIMA的最优变权组合模型并将其引入卫星钟差预报中，有效地提高了钟差预报精度。本文将采用RBF神经网络、GM(1，1)模型和ARMA模型的最优非负变权组合模型进行卫星钟差预报，通过对卫星钟差进行 3 h、6 h、12 h、24 h不同时长的预报。与经典权组合模型与3种单一模型预报结果作对比分析，证明基于此3种的最优非负变权组合模型能够对卫星钟差进行有效的预报。

2 最优非负变权组合预测模型的建立

2.1 RBF神经网络预测模型

RBF神经网络能够逼近任意的非线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性，具有良好的泛化能力，并有很快的学习收敛速度，已成功应用于非线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等。利用RBF神经网络对GPS卫星钟差进行预报时，选取适合的参数是至关重要的，目前RBF神经网络参数的确定缺少理论根据，仅凭经验确定[9]。GPS卫星钟差数据为一维时间序列，因此选取P个数据作为输入层，Q个数据作为输出层，即采用前P个数据预测后Q个数据的模式，再选取H个样本进行训练，通过训练建立的网络则可以预测所需要的预测值。

2.2 GM(1，1)预测模型

作为一个单变量预测的微分方程模型，GM(1，1)模型的离散时间相应函数呈近似指数规律。卫星钟差序列经过一次累加，形成一个递增数列，经过不断的累加，形成的数据点连线后接近于一个指数函数，通过此指数函数外推到下一个累加的和，再经过累减还原得到卫星钟差序列的预测值。

2.3 ARMA预测模型

自回归移动平均模型(Autoregressive Moving Average Models，ARMA)，简称B-J方法，由自回归(简称AR模型)和滑动平均模型(简称MA模型)为基础“混合”构成，它是一类常用的随机时间序列模型。卫星钟差预报的原理是：将卫星钟差时间序列视为随机过程，用一个数学模型来描述或模拟；一旦该模型确定，就可用该钟差序列的过去值和现值来预测未来值[10]。

2.4 经典权组合预测模型

(1)

(2)

2.5 最优非负变权组合预测模型

(3)

其中ωit满足：

(4)

设eit、et分别为第i种单一模型和组合预测模型在t历元的卫星钟差预测误差，则：

(5)

(6)

式中，

(7)

确定变权系数的准则有三种：①以相对误差的最大值达到最小；②以绝对误差和达到最小；③以误差平方和达到最小。本文采用第三种以预测误差平方和最小为目标函数，通过二次规划方法可以求得各期的权系数，则规划模型为：

(8)

对上述模型进行求解，可得各预测模型在样本点处的最优加权系数。据此便可得到组合模型在预测时点处的最优组合权系数ωi，m+j(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)。在确定各预测方法中“预测时点”的组合权重。确定预测时点的组合系数的方法很多，常用的有两种：

方法一：此方法适合各方法在时点序列上的权系数无明显规律，样本量较少的情形。计算公式如下：

(9)

方法二：此方法常用于观测数据期数较多，且各预测模型在拟合时点序列上的权系数有一定规律性。它利用回归法拟合权系数函数ω(t)。如取ω(t)=b0+b1t，之后确定各预测时点的组合预测权系数。其步骤如下：

第一步：设第i种预测模型在各拟合时点的最优组合权系数为：ωi1，ωi2，…，ωim。

第二步：以第一步的权系数为样本数据，用回归模型求取权系数函数Wi(t)。

第三步：得出权系数函数Wi(t)，再计算t=m+j时各预测模型的组合权系数函数值Wi(m+j)。

第四步：将Wi(m+j)归一化，得出t=m+j时各预测模型的组合权系数为：

(10)

由于观测数据量较少，在确定“预测时点”处的最优组合权系数时，采用方法一进行求解。设此时求得的最优组合权系数为Qi，m+j(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，根据式(1)可得下列公式：

(11)

其中，Ym+j为最优变权组合预测模型在第m+j期“预测时点”的预测值，Ui，m+j为各模型此时的预测值。

3 算例分析

本文从IGS官网给出的2016年5月19日～2016年5月20日的精密星历中选取了G01号卫星的钟差，通过4种方案进行建模分析：方案1-ARMA预报模型、方案2-灰色GM(1，1)预报模型、方案3-RBF神经网络预报模型、方案4-基于3种单一模型的经典权组合模型，方案5-基于RBF神经网络、GM(1，1)模型、ARMA预报模型3种单一模型的最优非负变权组合模型。以卫星2016年5月19日(前96个历元)的钟差数据作为训练样本，后96个历元(2016年5月20日)的钟差数据为测试样本。分别用3种单一模型和两种组合模型对钟差数据进行时长为 3 h、6 h、12 h、24 h的预报，利用均方根误差作为精度评定，为了便于比较分析，给出了3种单一模型和组合模型对G01卫星的卫星钟差预报结果残差图(如图1所示)和各种模型在不同时长预报中的均方根误差(如表1所示)：

图1 各种单一模型和组合模型不同时长的预报残差图

如图1所示，ARMA模型、GM(1，1)、RBF神经网络3种组合模型都能对卫星钟差进行有效预测。在不同时长预报中，3个单一模型都有不同精度，这是因为不同模型在卫星钟差预报过程中都有各自的局限性。

预报精度对比 表1

结合表1可见：

(1)在3 h预报时长中，3种单一模型及组合模型对卫星钟差预报结果很好。在单一模型中：RBF神经网络预报精度优于ARMA模型和GM(1，1)模型，在组合模型中：经典权组合模型预报精度优于3种单一模型，最优非负变权组合模型预报的均方根误差为 0.026 603 ns，小于RBF神经网络的 0.085 318 ns以及经典权组合模型的 0.072 776 ns。因此，在 3 h预报时长中，最优非负变权组合模型具有可靠性。

(2)在6 h预报时长中，随着时间推移中，3种单一模型对卫星钟差预报结果急剧下降，在这段时间内，RBF神经网络的预报精度下降得最快，均方根误差达到0.292 824 ns，GM(1，1)模型取得了较好的预报效果，在组合模型中经典权组合模型也达到了很好的效果，预报精度优于GM(1，1)模型，最优非负变权组合模型预报的均方根误差为 0.183 017 ns，小于GM(1，1)模型的 0.196 558 ns和经典权组合模型的 0.199 356 ns，表明最优非负变权组合模型适用于中短期预报。

(3)在12 h预报时长中，由图一可以看出，3种单一模型和2种组合模型对卫星钟差的预报精度在经过一段时间的急剧下降之后，逐渐趋于平稳，此时，单一模型中GM(1，1)的预报效果最好，其模型预报的均方根误差为 0.491 518 ns，要优于经典权组合模型的 0.514 975 ns，但是与最优非负变权组合模型的 0.471 233 ns存在差距，在中长期预报中，最优非负变权组合也取得了较好的效果。

(4)在24 h预报时长中，3种单一模型和组合模型预报误差都有减小趋势。GM(1，1)在3种单一模型中，取得的最好的预报效果，并且预报精度优于经典权组合模型。最优非负变权组合模型克服了单一模型在卫星钟差预报中的局限性，减小趋势表现最为明显，均方根误差为 0.457 649 ns，小于 12 h预报时长的 0.471 233 ns。显然，变权组合在长期预报中具有可靠性。

在对卫星钟差不同时长的预报中，最优非负变权组合总能取得很好的效果，但是在有的历元中，变权组合却与某个模型的预报结果相同。这里有必要解释一下，在最优非负变权组合中，权重取负数是没有意义的，最优非负变权组合模型采用目标规划方法，求解单一模型残差值在每个历元处的最优非负变权系数，以达到单一预报模型残差平方和最小的目的。当某个单一模型的残差值较大时，组合模型赋予其的权值会很小，甚至是0权值，这样就会导致最优非负变权的预报结果出现在边界上的现象，预报结果与某个模型相同。经典权组合模型建模简单，单一模型的权值是基于残差序列的方差倒数求解得到的，由算例分析可以看出：经典权组合模型的预报精度分布比较均匀，介于最优与最差之间，在单一组合模型残差不会过大情况下，经典权组合模型往往能取得较好的效果。对不同模型在卫星钟差的不同时长预报的分析，随着时间的推移，预报精度在经过一段时间下降之后，逐渐趋于平稳并有提高的趋势，在整个过程中最优非负变权组合模型都有最好的表现。表明最优非负变权组合模型不仅适合短期预报，也适合中长期预报。

4 结 论

考虑到各单一模型在卫星钟差预报中的局限性，本文将最优非负变权组合模型引入到卫星钟差的组合预报中，组合模型能根据各单一模型的预报效果给各历元赋予不同的权值，对残差的调节取得了很好的效果，综合各种模型的优点，提高了预报结果的可靠性。经算例，组合模型在 3 h、6 h、12 h、24 h的预报中取得了均方根误差为：0.026 603 ns、0.183 017 ns、0.471 233 ns、0.457 649 ns，证明基于RBF神经网络、GM(1，1)模型和ARMA模型3种单一模型组合的最优非负变权组合模型在卫星钟差预报中的可靠性，且适合长期预报。

[1] 李本玉. GPS/GLONASS精密单点定位技术模型与算法的研究[D]. 泰安：山东农业大学，2010.

[2] 郑作亚，卢秀山. 几种GPS卫星钟差预报方法比较及精度分析[J]. 山东科技大学学报·自然科学版，2008，27(4)：6～15.

[3] 席超，蔡成林，李思敏等. 基于ARMA模型的导航卫星钟差长期预报[J]. 天文学报，2014，55(1)：78～89.

[4] 雷雨，赵丹宁. 径向基函数神经网络在卫星钟差预报中的应用[J]. 全球定位系统，2013，38(2)：12～18.

[5] 王永刚，郑红运. 基于最优变权组合模型的航空运输事故征候预测[J]. 中国安全科学学报，2013，23(4)：26.

[6] 吴清海，李惠芳. 变权组合模型在沉降预测中的应用[J]. 测绘科学技术学报，2009，26(2)：118～120.

[7] 任超，梁月吉，庞光锋等. 最优非负变权组合模型在大坝变形中的应用[J]. 大地测量与地球动力学，2014，34(6)：162～166.

[8] 李飞达，唐诗华，蓝岚等. 最优非负变权组合模型在卫星钟差预报中的应用[J]. 大地测量与地球动力学，2017，37(9)：942～945.

[9] 黄启宏，刘钊. 流形学习中非线性维数约简方法概述[J]. 计算机应用研究，2007，24(11)：19～25.

[10] 张勃，刘秀丽. 基于ARIMA模型的生态足迹动态模拟和预测——以甘肃省为例[J]. 生态学报，2011，31(20)：6251～6260.