考虑模型偏差的结构动力学模型修正*

陈学前， 沈展鹏, 刘信恩

(1．中国工程物理研究院总体工程研究所 绵阳，621999) (2．工程材料与结构冲击振动四川省重点实验室 绵阳，621999)

引 言

可靠的动力学模型对于结构的动力响应预测和结构动态设计都具有十分重要的意义。因此，常常需要根据结构振动或模态试验结果对结构的有限元模型进行修正，使修正后的模型可作为基准有限元模型对其进行后期的健康检测与评估，以便能更好服务结构的工程设计。为此，有限元建模与修正技术在过去30多年取得了长足的发展[1-6]。有限元模型修正过程是一个结构参数识别和确认的优化过程，每一次迭代都需要调用有限元程序对结构重新进行计算，针对复杂结构，计算量大，直接调用有限元分析的优化不易于工程实际应用，为此，相关学者提出了基于各种代理模型的有限元模型修正方法[6-11]，可以大大提高修正效率，增加有限元模型修正的工程适用性。但是，由于有限元模型修正是个参数识别的优化过程，因试验结果偏差或结构建模偏差的存在，实际优化过程中可能存在目标函数不完全趋近于零的情况，最终优化后的目标函数可能是某个小的值，如果基于该模型对结构的响应进行预测评估，总会使人们心存疑虑。总的来说，工程中不存在一个完美模型来描述其物理实际，为此，近年来有学者开始关注考虑模型偏差的有限元模型修正与预测[12-16]，使得模型偏差能在模型预测中得到体现，从而增强模型的预测能力，以便更好为决策服务。但是，目前考虑模型偏差的模型修正与预测更多侧重于模型偏差的建模与预测，即通过已知确认试验数据获取确认域的模型偏差，并据此建立全域里的模型偏差模型，以获取预测位置处的模型偏差。这种考虑模型偏差的模型修正方法在实际工程中存在一定缺陷，如确认域的结构与预测域的结构不一致时，此时由于需要将模型偏差在结构空间跨层传播到预测域，由于建立模型偏差在结构空间跨层传播模型时存在较大困难，目前研究较少。

笔者提出用待修正参数的不确定性来表征模型偏差，使得模型偏差对预测结果的影响可以方便地通过待修正参数的传播实现其在参数空间内插/外推预测以及结构空间的跨层传播。为提高模型修正效率，采用多项式响应面模型完成结构传统确定性的模型修正，得到待修正参数的最优值，并基于灵敏度分析与响应面模型，识别得到模型偏差对待修正参数的影响。最后，通过悬臂梁模型修正实例对所提出的方法进行了验证。根据不确定性的一般分类，结构系统中的不确定性大致可以分参数不确定性和模型形式不确定性(即模型偏差)[17]。本模型修正得到系统待修正参数用区间表征，在表征形式上与考虑系统中各参数不确定性的有限元模型修正结果类似，但意义不同。考虑系统中各参数不确定性的有限元模型修正中,待修正参数表征的是系统中的各参数不确定性(如不同次装配带来连接刚度的不确定性),而文中得到的待修正参数区间是表征系统中的模型偏差。

1 修正后有限元模型的模型偏差

模型偏差定义为计算结果与试验结果的差异，实际工程中，为减小模型偏差，一般先对初始有限元模型进行修正。

有限元模型修正过程是一个结构参数识别和确认的优化过程，考虑到响应面法由于具有计算量小，精度较高，且待修正参数与响应量之间具有显示函数关系，便于进一步开展基于灵敏度分析的考虑模型偏差的模型修正，笔者采用多项式响应面函数作为代理模型，开展结构系统的有限元模型修正。

响应面法的基本思想是假设随机输入变量对结构响应变量的影响可用数学函数来表达，通过确定性有限元方法在随机输入变量空间构造有限样本点，用二次多项式拟合这些样本点，得到响应面函数。研究表明，参数间相互效应对响应面模型总方差的贡献非常小[11]，并且一般结构模态参数随系统待修正参数的变化都较为平滑，故文中采用无交叉项的二次多项式模型作为代理模型，其精度也能满足要求。笔者采用响应面模型的表达式如下

(1)

其中：n为待修正参数的个数；b0，bi及bii为待定系数，需根据试验样本点的计算结果对其进行识别。

传统确定性的有限元模型修正可归结为如下优化问题

(2)

经修正得到的模型仍可能存在模型偏差δ(pc)，定义为待修正参数取最优值pc时计算结果与试验结果的差别，有如下表达式

δ(pc)=|ye-ya(pc)|

(3)

图1 基于响应面的有限元模型修正流程图Fig.1 Flow chart of finite element model updating based on response surface method

2 模型偏差的影响分析

通过前面确定性的有限元模型修正，获得待修正参数的最优值pc，将其代入响应面模型(1)，计算优化后结构的模态参数，并与试验结果比较得到模型偏差δ(pc)。采用灵敏度分析的方法求解模型偏差的影响，模型偏差与待修正参数偏差有如下关系

δ(pc)=|S·Δp|

(4)

其中：S=∂y/∂p表示待修正参数关于模态参数的灵敏度矩阵，可以根据响应面模型(1)方便计算得到。

求解式(4)，得到待修正参数偏差的表达式为

Δp=|Gδ(pc)|

(5)

其中，G=(STS)-1ST。

将待修正参数偏差Δp与其最优值pc按以下方式叠加，得到考虑模型偏差后的参数识别区间为

(6)

3 实 例

图2所示为悬臂梁结构，其厚度为15 mm，结构材料为钢，名义弹性模量为200 GPa，密度为7 800 kg/m3。其根部通过3个M8的螺栓施加10 N·m拧紧力矩实现根部固支。通过模态试验获得结构前3阶弯曲频率分别为39.32，244.87，679.01 Hz。

图2 悬臂梁结构示意图Fig.2 Sketch map of cantilever

在ANSYS中采用BEAM3二维梁单元建立梁悬臂自由部分的有限元模型，固支端刚度采用拉压与扭转弹簧单元组合单元模拟该悬臂梁的根部挠性刚度，其中弹簧刚度为待识别参数。建立梁的有限元模型如图3所示。

图3 悬臂梁结构的有限元模型Fig.3 Finite element model of cantilever

有限元模型中假定拉压刚度Kt的初始区间值为[3 6]×107N/m，扭转刚度Kr的初始区间值为[9 15]×104N·m，根据如图1所示模型修正流程对这两个待修正参数进行修正。在参数识别过程中所建立的二次多项式响应面模型，表征其拟合精度指标的R2值均为1，说明本方法采用无交叉项的二次响应面模型作为代理模型能满足精度要求。表1为模型修正前后计算频率与实测频率比较(修正前计算结果是待修正参数取初始区间中值的计算值)，f1～f3分别为1阶～3阶频率。

表1表明，相比初始模型，修正后结构前3阶固有频率的计算结果与试验结果的最大相对误差由2.32%减小到0.29%，模型更精确了，但仍有一定偏差。

表1修正前后计算频率与实测频率比较

Tab.1ComparisonofthefrequenciesbetweenthesimulationresultsandthetestresultsHz

图4～图6是两个待修正参数和目标函数的收敛过程图。从图4、图5可以得到待修正参数Kt,Kr的识别结果分别是3.701×107N/m，6.918×104N·m。从图6可以看出，修正后模型的固有频率f1～f3计算结果与试验结果仍存在一定差异，即修正后的模型存在偏差。

图4 待修正参数Kt的迭代收敛情况Fig.4 Convergence curve of the updating parameter Kt

图5 待修正参数Kr的迭代收敛情况Fig.5 Convergence curve of the updating parameter Kr

图6 目标函数F的迭代收敛情况Fig.6 Convergence curve of the objective function F

为了得到更可靠的有限元模型，需要考虑模型偏差影响，对待修正参数再次修正。结合响应面模型(1)，计算待修正参数关于前3阶固有频率的灵敏度矩阵，再根据式(5)计算得到待修正参数偏差分别为0.490×107N/m，0.497×104N·m。并根据式(6)得到考虑模型偏差后待修正参数Kt，Kr的区间分别是[3.211 4.191]×107N/m，[6.421 7.415]×104N·m。

根据待修正参数的初始设计区间、模型修正后的参数识别区间，采用均匀分布的拉丁超立方抽样方法构造1 000个随机样本，并计算悬臂梁的前3阶固有频率，并与试验数据进行比较，概率密度曲线如图7所示。从图7可以看出，相比模型修正前，修正后模型的固有频率计算结果明显更接近试验结果；如不考虑模型偏差，修正模型的计算结果与试验结果存在一定差异，而考虑模型偏差后的计算结果概率曲线则能完全覆盖试验结果，基于该模型进行响应预测的结果将更可靠。

图7 修正前后结构前3阶固有频率计算结果与试验结果比较Fig.7 Comparison of the first three frequencies between the simulation results and the test results

4 结束语

鉴于结构有限元模型修正后仍可能存在模型偏差的问题，笔者提出了考虑模型偏差的结构动力学模型修正方法。该方法分两步进行：a.基于响应面模型对待修正参数进行优化识别，并求出模型修正后的模型偏差；b.基于响应面模型并结合灵敏度分析得到模型偏差对结构待修正参数的影响，得到待修正参数的不确定性，并用待修正参数的区间来表示考虑模型偏差的有限元模型修正结果。由于本方法采用响应面模型，可以大幅提高修正效率，增强工程应用价值。针对提出的考虑模型偏差的动力学模型修正方法，通过悬臂梁算例对模型修正方法与流程进行了展示，修正结果较好覆盖了试验结果，因此，基于该模型进行响应预测的结果将更可靠。

通过考虑模型偏差得到的结构动力学修正模型，可以提高结构的可靠性预测结果。但是，由于待修正参数是区间表征的不确定性参数，在进行结构动力学响应的传播分析时，如何快速高效对这些不确定性参数进行传播分析以得到关心量的预测结果，特别针对非线性效应较强的模型，需要进一步开展相关研究。并且，当结构中某些材料参数存在不确定性或连接不确定性时，如何综合模型中参数不确定性与模型偏差的影响，以修正得到更可靠的有限元模型还需要进一步研究。

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