测量中误差和扩展不确定度数学关系研究

周太平 易圣文 陈茂华

（1.江西省测绘成果质量监督检验测试中心 江西南昌 330209；2.江西省基础测绘院 江西南昌 330209）

1 引言

测量的目的是为了得到测量结果，但在许多场合下仅给出测量结果往往还不充分，在不同国家和地区，以及不同测量领域，使用大家相互认可的评价体系对测量结果的质量进行评价就显得尤为重要，测量不确定度是目前国际上广泛认可的测量结果评价概念。我国在1998年引进了这一概念，发布国家计量技术规范JJF1001—1998《通用计量术语及定义》。随着不确定度理论的进一步发展，我国于2011年和2012年对相应的国家计量技术规范进行了版本更新，即JJF1059.1—2012《测量不确定度评定与表示》和JJF1059.2—2012《用蒙特卡洛法评定测量不确定度》以及JJF1001—2011《通用计量术语及定义》。测绘领域在对测量结果的评价中一直习惯使用“测量误差”的概念，出于遵从国家的度量衡统一的要求，为测绘与其他学科更好地融合，使用国际国内广泛认可的“不确定度概念”对“测量误差”进行等效换算显得尤为必要。本文通过对两者概念的联系，研究它们相互转化换算的可能。

2 测量不确定度与误差

在我国颁布的JJF1001—2011《通用计量术语及定义》中对“测量不确定度”、“测量误差”做出了明确的定义和解释，“测量误差”（measurement error，error of measurement）简称“误差”（error），是测得的量值减去参考量值；“测量不确定度”（measurement uncertainly，uncertainly of measurement） 简称不确定度（uncertainly），是根据所用到的信息，表征赋予被测量量值分散性的非负参数[1]。根据JJF1001—2011《通用计量术语及定义》和JJF1059.1—2012《测量不确定评定与表示》中的定义和对定义的解释，对他们眼中的“测量不确定度”和“测量误差”异同总结如表1。

表1 测量不确定度与测量误差的区别

显然，测绘领域的误差理解与国家质检总局系统发表文件中定义的测量误差基本相同，只是符号相反。在《误差理论与测量平差基础》中将误差定义为：

在实际的观测中，观测个数是n个，由于误差的随机性，可以肯定的是n个观测的观测结果不尽相同，每一次的测量误差大小也不一样，单纯的用误差衡量观测值的精度显然不够，在测量领域常用中误差σ来衡量这n次观测的精度，这与衡量精度的不确定度U是否存在一定的联系，他们是否可以由一定的数学关系式相互转化。

3 扩展不确定度U与中误差σ的关系

在测绘领域，对于观测结果随机变量X的中误差定义式为

式中f(x)为误差Δ的概率密度函数，而σ就是中误差

σ 恒取正号[2]。

由此可见，σ的大小可以反映测量结果精度的高低，即反映误差分布的密集或离散的程度。同时，测量不确定度是根据所用到的信息，表征赋予被测量量值分散性的非负参数。显然两者都是表征测量量值的分散性的非负参数，但是计量领域很多人认为中误差仅是针对测量结果的统计计算，对测量过程的分析没有，而认为中误差的概念不够全面。其实不然，在公式的定义中，中误差就是不确定度评定中的合成标准不确定度，两者是可以画等号的。

其中 σi为 Xi的标准差（中误差），σij为 Xi与 Yj的协方差，又设有X的线性函数为

式中：

和k0为常数。

根据中误差的定义可知Z的中误差为

所以

将上式展开成纯量形式，得

而对于不确定度评定，当各输入量之间存在不可忽略的相关性时，合成标准不确定度成为

式中，u（xi，xj）为输入量 xi和 xj之间的协方差。

对于式（8）和式（9）是同一个方程的两种不同的表示形式，两个的计算结果和过程一样，只是表示方法不同。即

由此可见，观测值为线性函数的扩展不确定度就是k倍的中误差。对于观测值为非线性函数的观测值，中误差和不确定度同样可以在数学上相互转化，在中误差中通过定权完成计算，在不确定度评定中通过解析各观测值的相关性完成计算，定权和相关性确定数学原理一样，最后计算得出的扩展不确定度仍然是k倍的中误差。

4 实际应用对比

测量仪器望城标准长度检定场是一个比长基线场。在本次实际对比中，应用一台检定有效期内的“Leica TS06power-2”全站仪对其中一段比长基线重复测量10次，获得测量结果（温度气压改正后的测量结果）如表2，分别使用不确定度评定和中误差计算方法对测量结果的质量进行评价。

在表格中按照实测基线长与标准基线长之差，计算得△i、△i△i和Σ△i△i。

因为本次测量中的10次观测相互独立，应用式（3）计算观测结果的质量评定指标中误差有：

表2 Leica TS06power-2″全站仪（编号：1354386）观测标准基线结果

同样的，应用公式（9）对观测结果的不确定度进行评定，这10次观测结果中，由观测引入的不确定度分量：

式（12）和（13）相等。在不确定度评定中，式（12）的结果是不确定度评定中的一个分量，还有很多因素会引起观测结果的误差，比如标准基线自身引入的不确定分量、仪器和棱镜安置引起的不确定分量、温度气压测量误差引起的不确定度分量等等，通过建立合成标准不确定计算的模型，得出测量结果的合成标准不确定度；在测量结果的中误差计算中，这些分量一样需要考虑，通过定权建立权阵，应用协方差传播理论计算出测量结果的中误差。不难看出，中误差和不确定度计算的过程一样，尽管公式的引用可能有区别，但只是不同学科在概念上的区别，只要引入的分量相同，大小相等，最后计算出的结果就相同。但不能讲中误差就是等于合成标准不确定度，必须要看两者的计算过程，对比两者的数学模型，引入误差或者不确定度分量的大小等，就可以确定两者的关系。

5 结论

本文从不确定度和误差的概念出发，通过比较不确定度评定和中误差计算的数学方法，得出了扩展不确定度和中误差的数学关系式。这样，中误差可以通过一定的数学转换，按照不确定度的表示要求，将测量结果完整的表示出来。在计量领域的不确定度评定工作中，首先需要建立数学模型，而在测绘领域，中误差的求定中建立数学关系式和定权也是同样的工作；在计量领域习惯将不确定度评定分为A类不确定度评定和B类不确定度评定，其实在测绘领域利用协方差传播律同样可以做到。但计量领域往往认为中误差的计算太过简单，容易忽视一些对测量结果带来不确定度的因素，这是由于对中误差的片面误解，只要建立的数学模型和定权合理，两者是等同的。由此可见，中误差和不确定度评定如果需要，通过对比两者的计算过程，可以很方便的相互转化换算。

参考文献：

[1]JJF.1001—2011.通用计量术语及定义.[S].北京:2012.

[2]武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].湖北:武汉大学出版社，2003.26-27.

[3]JJF.1059.1—2012.测量不确定度评定与表示.[S].北京:2012.

[4]钱绍圣.测量不确定度实验数据的处理与表示[M].北京:清华大学出版社，2002.

[5]蓝悦明.误差、不确定性与不确定度的定义和内涵[A].中国测绘学会.中国测绘学会2006年学术年会论文集[C].中国测绘学会:，2006:7.

[6]黄晓磊.测绘仪器在计量检定中的必要性探究[J].中国标准导报，2013，(08):50-51.