基于多元统计的转轮优化分析

赵冬青，张双全，高向正

(华中科技大学 能源与动力工程学院，湖北 武汉 430074)

应用于工业冷却塔中的超低比转速混流式水轮机，代替电机驱动冷却风扇，兼备降噪与节能两个好处[1].鉴于其可观的节能效应，国家发改委已在2011年立项推广“工业冷却塔用混流式水轮机技术”[2].这种新兴机型通常直径不到1.5 m，利用水道中10 m左右的富余水头带动风扇运转，起到了替代电力的作用[3].它和风扇同轴安装，为减少风阻，需要有较小的横截面积.这使得它的叶片形状接近于离心式，流道较长，流动损失较大.

研究发现，在流道的尺寸变化很少影响流动状态的情况下，可以忽略流动状态的改变，将优化目标视为是叶片形状的函数[4-5].超低比转速混流式水轮机的叶片由中轴截面绕周向立体旋转形成.叶片形状是叶片进、出口直径，进口安放角，上冠流线和下环流线的出口安放角和包角以及叶片的空间曲率等数个参数的函数.因为水轮机的性能与有限的参数有关.可以在科学合理地确定相关参数的前提下，设计出随机实验，用多元统计方法分析样本各随机因素相对于效率表现出的相关规律，并根据实验点分布情况利用优化算法寻找叶片的最优参数[6].

1 设计和优化策略

实际设计中，叶片空间曲率由高次Bézier曲线的光滑性条件约束，进口直径由功率决定，进、出口直径定比，因此可供优化的参数数目有5个：进口安放角、上冠流线出口安放角和包角，以及下环流线的出口安放角和包角.

研究采用一维反问题设计方法获得初始的模型参数.然后，以各优化参数的初始设计值为均值，根据设计经验决定方差，由拉丁超立方体抽样方法获得一定量的实验样本.用CFD数值模拟计算方法得到各个样本的性能.最后，观察样本点对于效率的分布特征，由多元统计分析方法分析各个优化参数和优化目标之间的相关性.

1.1 一维反问题设计

超低比转速混流式水轮机的转轮采用一维设计方法设计.因为叶片狭长的混流式转轮内流体的流动，与弯曲圆管流动相似，对进出口形状参数极为敏感.经验表明，一元理论能够较好的反映其流道截面上的平均参数的主要变化规律及其总的流动特征，可以作为三元流动分析的基础[7].基于一元理论，动量矩输出最大时，转轮出口速度的圆周向分量为零，转轮入口处的周向速度满足能量转换方程：ηsgH=U1Cu1.叶片的进出口形状由能量转换方程和速度三角形计算得到.

1.2 CFD算法模型

CFD技术用于计算实验样本的性能，因其在流场计算中的广泛应用[8].本文采用雷诺应力平均的粘涡模型的两方程k-ω模型，即标准k-ω模型，它用湍动能方程(2)和湍动能耗散方程(3)封闭雷诺应力方程(1)，并在近壁处结合壁面函数法求解.

(1)

(2)

(3)

其中：C1、C2、σk、σε是在特殊应用条件下，由实验确定的常数.建模及计算在CFX16.0 workbench中进行.

1.3 样本数量

为获得统计规律，需要足够的样本数量，它受到CFD计算资源的限制.设N为优化参数的数目，实验样本数量S至少满足S≥(N+1)(N+2)/2.

2 设计和优化过程

2.1 初始模型参数

设计工况为转速n=140 r/min，水头H=10 m，质量流量qm=833.33 kg/s的水轮机比转速为71 m·kW.

表1 叶轮几何参数

2.2 多元统计分析

由拉丁超立方体抽样方法获得了以五个优化参数的初始设计值为均值，在一定方差内的32随机样本.由CFD数值计算获得它们的效率，用散点图描述多个样本点的各个几何参数及其对应效率的分布关系[11-12](见图1).

在抽样区间内，图1(a)、(b)、(d)、(e)中的高效率的点在X轴方向上集中分布在一个“最佳值”的周围.图1(c)有最佳值向区间左移的趋势，这与采样范围有关.总体上，图1表现出存在唯一的具有最高效率的参数组合的规律，这种分布规律基本符合水力机械设计常识.

图1 样本点的几何参数和效率对应分布图

在图1(a)～(c)中都存在少数点因偏离最佳值而导致效率低下的情况.说明进口安放角、上冠流线出口安放角和上冠流线出口包角都是效率的敏感因素.图1(d)、(e)中，所有的低效率点均分布在高效率点对应的X轴区间内.说明下冠流线出口安放角和下冠流线出口包角是效率的不敏感因素.实际设计中，进口安放角决定进口条件，对能量转化起到至关重要的作用，而出口条件主要由上冠流线出口安放角和包角决定.上述统计规律也是符合设计经验的.

进一步分析，作出两参数耦合对应的效率等高分布(见图2).观察图像，在图2(c)、(d)、(g)、(i)、(j)中出现效率两峰和多峰值的情况，与高效率点在各优化变量的一个固定值上集中分布的情形相悖，表现出前述不敏感因素(下冠流线出口安放角和下冠流线出口包角)的干扰模式.

相反地，在图2(e)中，效率峰值聚集在极小的区域，且呈凸形.对于函数z=f(x,y)有dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy，该方程在图像上的表现为由X方向的平移造成的z值的损失可以由Y方向的一个平移来弥补.参考二维独立分布的函数图像，发现上冠流线出口安放角和上冠流线出口包角在在影响转轮的效率上相对独立.实际设计中，上冠流线出口安放角由速度三角形计算得到，上冠流线出口包角由从速度的圆周分量在流线上从进口到出口的积累得到.在这一点上，统计情况和实际情况相符.从对图2(b)、(f)、(h)的分布形状也可以做出相似的分析.

然而，在图2(a)中，效率峰值聚集在一个连续区域，且呈凹形，且在进口安放角取<74°(高效率区间中值)时，上流线出口安放角原来的高效率区间消失了.说明进口安放角对上流线出口安放角处的流动状态有一定影响，两者在影响转轮效率上有相关性.

图2(a),(b)均未表现出完整的效率高峰区域，这是样本的局限对分析造成的影响.合理选择优化区间在这里有重要的意义.但可参考图1(a)、(b)的信息确定它们的最优值域.

图2 耦合对应的效率等高分布图

3 结 论

超低比转速水轮机转轮的特性决定了它的优化参数.分析多个随机参数对效率的影响，发现统计规律符合转轮设计常识.说明多元统计方法用于分析转轮参数和效率之间关系的有效性.在此分析的基础上研究发现，在影响转轮的效率方面，进口安放角、上冠流线出口安放角和上冠流线出口包角是敏感因素，上冠流线出口安放角和上冠流线出口包角相互独立，进口安放角和上冠流线出口安放角

互相影响，下环流线出口安放角和下环流线出口包角是不敏感因素.相比正交优化法，多元统计分析能够凸显转轮参数对效率的影响规律，为模拟优化算法提供参考.

参考文献：

[1] 张飞狂.“免风机电机”水力取风冷却塔的设计和应用[J].给水排水,2000,26(1):98-100.

[2] 熊 研.冷却塔专用超低比转速水轮机的设计及数值模拟[J].南水北调与水利科技.2014，12(3):112-115.

[3] 张丽敏,郑 源,张成华,等.用于冷却塔的超低比转速混流式水轮机开发研究[C]//江苏大学流体机械工程技术研究中心裴吉江苏大学流体机械工程技术研究中心.2010国际农业工程大会节水灌溉工程,促进农业可持续发展分会场论文集,2010.

[4] 郑 凯.基于不完全敏感性方法的低比转速离心叶轮优化研究[D].兰州：兰州理工大学，2013.

[5] 王朝阳.固定边界水流流场数值模拟技术的研究与实现[J].浙江水利水电学院学报,2015,27(3):13-17.

[6] LIU LIN-HAI, ZHU BAO-SHAN, BAI LI, et al. Parametric Design of an Ultrahigh-Head Pump-Turbine Runner Based on Multiobjective Optimization[J]. Energies,2017,10(8):1169.

[7] 张克危.流体机械原理[M].武汉：机械工业出版社，2005：125-128.

[8] P Kerschberger ,A Gehrer. Hydraulic development of high specific-speed pump-turbines by means of an inverse design method, numerical flow-simulation (CFD) and model testing[J]. Iop Conference Series: Earth & Environmental Science,2010,12(1):12039.

[9] 章红雨,张双全.冷却塔用超级比转速混流式水轮机设计[J].水电能源科学.2015,33(4)：151-154.

[10] 曹 鹍,姚志民水轮机原理及水利设计[M].北京：清华大学出版社，1991:162.

[11] 哈德勒.应用多元统计分析[M].北京：北京大学出版社,2011.

[12] 魏光辉.基于主成分与聚类分析的水面蒸发影响因素分类——以新疆塔中地区为例[J].浙江水利水电学院学报,2016,28(2):42-47.