改进的双阈值小波去噪方法

朱庆垚，余谅

（四川大学计算机学院，成都 610065）

0 引言

一般来说，现实中的信号都是带噪信号，由于干扰噪声的影响，这些信号很可能产生畸变，甚至可能面目全非，所以，在对信号进行进一步的分析以前，需要把有效的信号提取出来。如何从强噪声中恢复原始信号的波形，做到信噪分离是很重要的研究课题。小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，能够通过变换充分反映出信号某些方面的特性，因此被用于信号的去噪。

小波去噪有多种方法，其中，1992年Donoho和Johnstone提出的小波阈值收缩（WaveShrink）方法在最小均方误差意义下可达到近似最优并且可以取得较好的视觉效果[1]。该方法的两个关键因素是阈值的选取和阈值函数的构造，小波去噪的效果直接受到了这两种因素的影响。传统的小波阈值去噪算法分为硬阈值函数去噪法和软阈值函数去噪法，但是这两种阈值函数方法都存在相应的缺点[2]。文献[3-7]都对小波阈值去噪函数进行相应的研究和改进，但是部分还存在着硬阈值函数的不连续性以及软阈值函数的固定偏差的问题。文献[6]提出了一种新双阈值函数下的小波去噪方法，去噪效果相对于软、硬阈值方法有着很大的提升，但是还是存在固定偏差的问题；因此，本文针对这一问题，对新双阈值函数进行了改进，保证了函数的连续性并且去除了函数的固定偏差，从信噪比SNR和均方误差MSE两项数据来看，改进后的阈值函数效果有着明显的提升。

1 小波去噪原理

经过小波分解后，信号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中；而噪声的能量却分布于整个小波域内，可以认为，幅值比较大的小波系数以信号为主，而幅值比较小的系数很大程度上是噪声。因此，可以选取合适的阈值，将大于阈值的部分作为信号予以保留（硬阈值），或者是以一个固定量向零收缩（软阈值），而小于阈值的信号视为噪声予以舍弃从而达到去噪的目的。

假设原始信号为 f(t)，被污染后的噪声信号为s(t)，那么基本的噪声模型就可以表示为：

其中e(t)为噪声，σ为噪声强度，一般来说可以假设e(t)为高斯白噪声。对染噪信号进行离散的小波变化可以得到：

其中，ws( j，k) 、wf(j ，k) 、we( j，k)分别为染噪信号、原始信号和噪声在第j层上的小波系数，分别记为wj,k、uj,k、ej,k，J表示小波变换最大分阶层；N表示信号长度。

由上式可知，经过小波变换后，小波系数可以由原始信号小波系数uj,k以及噪声小波系数ej,k组成。因此，选取合适的阈值λ对小波系数wj,k进行处理，得到处理后的小波系数，最后将处理后的小波系数ŵj,k进行重构，就可以得到去噪过后的信号ŝj,k，具体的处理过程如下：

图1 小波去噪算法流程图

经过上述流程图和描述可知，阈值的选取和阈值函数的设计对于最终的去噪处理效果有着非常大的影响。

2 阈值函数

2.1 传统的阈值函数

传统的阈值函数中，由于结构简单并且去噪效果良好，软、硬阈值去噪方法得到比较广泛的应用。

（1）硬阈值

硬阈值函数将小波系数绝对值大于阈值的小波系数予以保留而小于阈值的小波系数置零。

（2）软阈值

软阈值函数将小波系数绝对值大于阈值的小波系数置为它与阈值的差值，而小于阈值的小波系数置零。

软、硬阈值法虽然应用广泛，但是它们仍然存在着一些缺点。硬阈值法得到的在±λ处是不连续的，然后利用不连续的重构得到的信号很有可能造成Pseudo-Gibbs现象，导致最终得到的信号在不连续点处以及快速变化处存在震荡；软阈值法得到的虽然连续性比较好，并且去噪后的信号相对平滑但是和wj,k总是存在恒定偏差，导致了信号在某些尖峰点处过于光滑，也会丢掉原始信号的某些特征。

2.2 改进的阈值函数

为了克服软、硬阈值各自的缺点，大量学者或者提出了改进方案，或者提出了新的阈值函数，文献[5]提出了一种新的阈值函数：

但是该函数在±λ处是不连续的，容易产生Pseudo-Gibbs现象。

文献[6]提出了一种新的双阈值法：

其中，λ2为上阈值，λ1为下阈值，满足 λ1=kλ2，0＜k＜1，该函数在两个阈值点均连续，并且在的情况下，随着w变大不断减小，符合指数衰j,k减特性；但是在的情况下是固定不变的，依然存在差值恒定的问题，所以，针对以上函数存在的问题，本文提出改进的双阈值函数表达式如下：

其中 λ1=kλ2，0＜k＜1。很容易可以得到，改进后的函数不仅在两个阈值λ1、λ2处连续，并且在的情况下，函数是逼近于的，因此克服了恒定偏差的问题。

如图2所示，硬阈值函数在阈值点wj,k=±λ是不连续的，重构的信号容易造成Pseudo-Gibbs现象；软阈值函数连续性比较好，但是||wj,k≥λ的情况下会有恒定偏差；文献[6]的连续性好，并且在阈值处的过度光滑，然而随着 wj,k值的不断变大，始终与函数存在着差值，不利于信号的重构；本文的函数连续，在阈值点处的过渡区域保持光滑，另外随着wj,k变大，不断逼近函数达到近似重合，消除了文献[6]所存在的差值问题，使得重构后的信号在突变点处的Pseudo-Gibbs现象得到抑制，而且控制了尖锐点处过度平滑的问题，有效的控制了信号的突变和丢失。

图2 函数图比较

3 阈值选取

它是根据D.L.Donoho等人所提出的关于阈值估计风险定理确定的阈值。其中σ表示噪声信号的标准差（度量噪声的强弱），N表示信号的长度。由于σ在实际环境中是一般是未知的，通常需要进行估计。由于噪声主要集中在最高分辨集J-1，所以我们可以利用小波

对于阈值函数而言，如果阈值取得过大，就会导致在过滤掉噪声的同时也把一部分关于信号的信息也过滤掉了，造成去噪后的信号过度平滑；而阈值选取过小，又会保留噪声，达不到去噪的目的，目前常用的阈值选取方法有[8]：

（1）固定阈值：系数{wj-1,k，k=1,2，…，2J-1}估计噪声标准差[1]，取

（2）Stein无偏似然估计阈值

（3）启发式阈值

启发式阈值是前两种阈值的综合，所选择的是最优预测变量阈值。如果信噪比很小时，选取固定阈值，如果信噪比很大时，选取Stein无偏似然估计阈值。假设sum为N个小波系数的平方和，令 μ=(sum-N)/N，ν=(lbN)3/2×N1/2，则：（4）最小最大准则阈值

最小最大准则阈值也是一种固定的阈值选择形式，它所产生的是一个最小均方差的极值，而不是无误差。

4 阈值函数仿真分析

4.1 去噪性能评价标准

为了验证改进阈值函数的去噪效果，一般来说有两种方法：主观评论和客观评论。主观评论是人的主观感受来判断去噪信号的还原程度。客观评价是指输入信号与输出信号之间误差来判断去噪的质量[11]。本文引入信噪比和均方误差来评价去噪性能。信噪比的公式为：

均方误差MSE的公式为：

其中信噪比SNR的单位为dB；yi为原始信号为去噪过后的信号；N表示信号的长度。去噪后的信号信噪比越大，说明去噪效果越好。MSE为均方误差，MSE越小，去噪后的信号能更好地重现原始信号。

4.2 不同阈值函数之间的去噪性能比较

为了检验本文与其他阈值函数之间的去噪性能，本文选取小波函数在db2，分解层数为5层，上阈值函数选取改进后的阈值，下阈值系数选取为k=0.5。

为了更有效地比较本文阈值函数与其他阈值函数的性能，本文分别选取blocks信号、bumps信号以及heavy sine信号来进行比较。

首先生成信号长度为1024的blocks信号，然后加入信噪比为12的高斯白噪声，原始信号、加噪信号以及不同阈值函数对blocks加噪信号的处理效果如图所示：

图3 blocks加噪信号不同阈值函数去噪比较

其次生成信号长度为1024的bumps信号，加入信噪比为12的高斯白噪声，原始信号、加噪信号以及不同阈值函数对bumps加噪信号的处理效果如图所示：

图4 bumps加噪信号不同阈值函数去噪比较

最后生成信号长度为1024的heavy sine信号，加入信噪比为12的高斯白噪声，原始信号、加噪信号以及不同阈值函数对heavy sine加噪信号的处理效果如图所示：

图5 heavy sine加噪信号不同阈值函数去噪比较

由图 3（c）、图 4（c）、图 5（c）可以看出，硬阈值函数方法容易出现明显的震荡点，这是由于硬阈值函数不连续造成的；又由图 3（d）、图 4（d）、图 5（d）可以看出，信号整体都非常平滑，并且在尖锐处也过于平滑，这是由于软阈值函数存在固定偏差所造成的；三图中的（e）、（f）、（g）分别代表文献[5]、文献[6]以及本文的阈值函数去噪结果，可以看出，三者去噪效果都要强于硬阈值函数和软阈值函数，并且本文的方法相较于其他两种阈值函数方法也较为优秀，下面从客观角度，也就是信噪比和均方误差来考察阈值函数如表1所示。

表1 三种信号在不同阈值函数下的去噪效果分析表

查看表1中的数据可以得到以下的信息，（1）软阈值函数在blocks信号以及bumps信号中的处理效果明显的弱于其他的阈值函数，因为blocks信号以及bumps这两种信号所含的凸点较多，软阈值函数将大部分凸点处理的过于平滑，这就导致了软阈值效果较差；（2）文献[5]所提出的改进方案相对于软、硬阈值函数来说虽然有一定的提升，但是提升较少，并且不够稳定，例如blocks信号下，文献[5]的性能就弱于硬阈值函数；（3）文献[6]以及本文所提出的改进的阈值函数性能都比较稳定，基本优于其他阈值函数，并且k=0.5的情况下性能明显优于k=0.7的情况，另外，本文所提出来的改进阈值函数提升效果明显。

5 结语

首先，本文说明了小波阈值去噪的基本原理，解释了传统的软、硬阈值函数处理方法。针对阈值函数的设计以及阈值的选取对去噪效果的影响，本文以近年来提出的双阈值方法为基础，提出了优化改进方案，从数学角度进行验证，克服了软、硬阈值的缺点并且弥补了原双阈值函数的固定偏差的问题。仿真实验表明，本文所提出的改进的双阈值函数有效的抑制了Pseudo-Gibbs现象，并且能尽量保持信号的光滑性。从信噪比SNR来看，本文的改进阈值函数有了明显提升，并且有效地降低了均方误差MSE，实用性较高。

参考文献：

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