关注核心概念，悟《解三角形》中求参数范围之道

陈斌

解三角形时往往会遇到求边、角或代数式的取值范围（或最值）问题，解决这类问题是一个难点。但是，数学是自然的，只要关注核心概念，就能悟出求解此类问题之道。

本部分的核心概念当属“三角形”，它的内涵包含边边、角角和边角关系，重要定理是内角和定理、正弦定理和余弦定理。它的外延已经丰富到了任意三角形。“三角形”的概念对本部分起着统领和主导作用。

例1.已知△ABC中，B=60°，AC=■求AB+2BC的最大值.

分析：本题只要关注到核心概念之边角关系，若根据正弦定理，则把关于边的代数式转化为三角式，从而利用三角函数求最值即可；若根据余弦定理，则问题转化成了直线与曲线的关系问题，相切时取最值。

简解一：因为■=■=■=K，而■=2，

则AB=2sinC，BC=2sinA，

故AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（■-A）+4sinA

=5sinA+■cosA=2■sin（A+φ），φ∈（0，2π）

又A∈（0，■）

故AB+2BC的最大值为2■.

简解二：设AB=c，AC=b，BC=a，由余弦定理的推论cosB=■，所以a2+c2-ac=b2=3，设c+2a=m，代入上式并整理得7a2-5am+m2-3=0，Δ=84-3m2≥0故m≤2■

当m=2■时，此时a=■，c=■符合题意，

因此最大值为2■.

例2.在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且B=2A，求■的取值范围.

分析：本题的核心概念仍然是三角形的边角关系，解题思路还是根据正弦定理，把关于边的代数式转化为三角式，从而求三角函数的值域；但是，本题的另一个核心概念是“锐角三角形”，只有关注到它，才能正确确定出函数的定义域。

简解：在锐角△ABC中，∵B<■ ∴A=■<■

∵A+B=π-C>■ ∴3A>■ ∴A>■

∴■

由正弦定理得：■=■=■=2cosA

∴2cos■<2cosA<2cos■ ∴■<■<■

综上所述，■的取值范围为（■，■）.

例3.在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，求x的取值范围.

分析：本题的核心概念是“三角形有两个解”，由此确定出函数的定义域即可.

简解：∵■=■=2■ ∴a=2■sinA

因为A有两个值，所以a>b，故A>45°

∵A+C=135° ∴45°

又若A=90°也是一解，所以■

所以x的取值范围是（■，2■）.

例4.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设f（x）=a2x2-（a2-b2）x-4c2，若f（2）=0，求角C的取值范围。

分析：本题的核心概念仍然是边角关系，但转化的方向是由边到角，具体方法是由余弦定理和均值不等式可得cosC的范围，再通过解三角不等式得角C的取值范围。

简解：因为f（2）=0，所以4a2-2（a2-b2）-4c2=0，即a2+b2-2c2=0

由余弦定理，得cosC=■=■，

所以cosC=■≥■=■（当且仅当a=b时取等号）

所以cosC≥■，而角C是锐角，又因为余弦函数在（0，■）上单调递减，所以角C的取值范围（0，■].

例5.已知钝角三角形的三边分别是a，a+1，a+2，其最大内角不超过120°，求a的取值范围.

分析：本题易错，原因是容易忽视核心概念三角形之边边关系。事实上，若三角形的三边长均含有参数，一定要考虑构成三角形的边边关系，即任意两边之和大于第三边.

简解：因为钝角三角形的三边分别是a，a+1，a+2，且其最大内角不超过120°

a+（a+1）>a+20>■≥-■ ∴解得■≤a<3

故a的取值范围是（■，3].

例6.在平行四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，求AB的取值范围.

分析：本题给出的条件是四边形，但核心概念仍然是三角形及其边角关系，考虑到AD是可以变化的，作出图形，平移AD，当点A与点D重合于点E时，AB最长，当AD与CF重合时AB最短，再利用正弦定理求出两种极限位置时AB的长，即可求出AB的范围。

简解：如图所示，

∠A=∠B=∠C=75°，所以∠D=135°，又BC=2，

所以当点D与点C重合时，由正弦定理可得■=■，解得AB=■-■，

所以当点D与点A重合时，由正弦定理可得■=■，解得AB=■+■，

因为ABCD为四边形，所以AB的取值范围为（■-■，■+■）.

？誗編辑 郭小琴