基于半正定规划的压缩感知线阵三维SAR自聚焦成像算法

韦顺军 田博坤 张晓玲 师 君

(电子科技大学电子工程学院 成都 611731)

1 引言

合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar，SAR)作为一种具有全天时、全天候、高分辨力、大区域观测及信息量丰富的雷达成像技术，已成为当今遥感对地观测的重要手段。因具备3维成像能力，线阵SAR (Linear Array Synthetic Aperture Radar， LASAR)是近几年来被广泛关注的一种新体制SAR 3维成像技术[1-4]。本质上，LASAR主要利用线阵天线运动合成一个大的虚拟2维阵列实现观测目标的2维分辨，再利用距离脉冲压缩技术实现观测目标的3维成像。相对于其它常规SAR 3维成像体制(如圆周SAR、层析SAR等)， LASAR具备成像模式多样、应用灵活等优势，克服了常规SAR 3维成像体制无法下视、前视成像的缺陷，在城市地形测绘、飞行器导航及盲降、目标精定位与识别、战场情报获取等民用和军用领域具有重要的研究价值和应用前景。

目前，LASAR 3维成像处理主要采用基于匹配滤波理论的成像算法[1，2]，如距离多普勒算法和后向投影算法。受载荷平台(如飞机、无人机、卫星等)空间及线阵天线长度限制，传统匹配滤波成像算法在LASAR线阵方向的分辨能力通常比其它维向的分辨力低，一定程度约束了LASAR高分辨成像应用。然而，由于地面、空中等观测目标在3维空间通常具有强稀疏性，故可利用目标稀疏先验信息提升LASAR 3维成像精度。近几年，基于压缩感知(Compressed Sensing， CS)理论的稀疏成像已经成为LASAR高分辨成像的研究热点之一，并提出了多种基于CS稀疏重构的LASAR 3维高分辨稀疏成像方法[5-8]。但是，CS稀疏重构对成像模型的精确性要求非常高，如在X波段雷达时位置精度通常需要达到毫米级，现有压缩感知LASAR 3维稀疏成像算法通常以成像模型精确已知为前提，并没有考虑实际平台运动误差的影响。当LASAR存在运动误差、阵列抖动时，则会导致成像模型存在偏差，CS稀疏重构出现散焦、畸变、虚假目标等成像质量恶化现象，甚至不能成像。另外，与传统SAR系统单个或少量天线工作不同，LASAR需要成百上千天线阵元同时工作，故仅利用雷达系统中单个位置的导航测量系统(如IMU(Inertial Measurement Unit)系统、GPS (Global Positioning System)或北斗系统)数据难以实现LASAR多个天线阵元运动误差的精确补偿。为了提高压缩感知LASAR 3维成像质量，在利用导航测量数据进行运动误差补偿后，还需结合回波数据和自聚焦成像技术实现多天线阵元的残余运动误差补偿。

至今，针对传统SAR成像中的运动误差补偿，相关学者已经提出了多种基于不同准则的自聚焦成像算法，如最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation， MLE)自聚焦、最小熵估计(Minimum Entropy Estimation， MEE)自聚焦、最大锐度(Maximum Sharpness Estimation， MSE)自聚焦等方法。相位梯度自聚焦(Phase Gradient Autofocus，PGA)算法作为一种在SAR实际成像中广泛应用的典型MLE自聚焦成像算法，已被成功用于压缩感知SAR稀疏成像中的残余相位误差补偿[9]。但是，当回波数据欠采样时，传统自聚焦算法不一定适用于压缩感知SAR稀疏自聚焦成像[10]。针对压缩感知SAR 稀疏自聚焦问题，近几年相关学者也已经提出一些解决方法。文献[11]提出了一种基于稀疏驱动的联合SAR稀疏成像及相位误差校正方法，采用迭代估计方法求解非二次正则化问题实现SAR稀疏自聚焦成像。文献[12]提出一种针对稀疏微波成像的自聚焦方法，采用贪婪算法实现相位误差的高精度估计。文献[13]提出了一种基于子孔径参数稀疏表示的机载SAR自聚焦成像算法，实测数据结果表明该方法相对于传统PGA算法具有更好的自聚焦性能。文献[14]针对运动误差造成的网格偏离现象，提出了一种基于稀疏重构的聚束式SAR自聚焦成像算法，采用正交匹配追踪及最速下降法实现稀疏自聚焦成像。另外，还有一些文献提出基于其它准则或估计模型的SAR 稀疏自聚焦算法[15-17]。然而，与传统SAR运动误差形式不同，由于受线阵稀疏分布及平台颤动、线阵抖动等联合运动误差影响，LASAR成像模型中相位误差具有多维度、高阶项分布等更复杂的形式，现有 SAR稀疏自聚焦算法不一定适用于LASAR自聚焦成像。对此，本文作者也提出了基于稀疏贝叶斯学习的LASAR自聚焦成像算法，在欠采样数据条件下可有效估计相位误差[18，19]，但是该方法需已知目标及相位的先验分布特性并且要求较高的回波信噪比条件。

为了补偿欠采样条件下LASAR多维度高阶相位误差，本文提出了一种基于半正定规划(Semi-Definite Programming， SDP)的压缩感知LASAR自聚焦成像算法，即半正定规划自聚焦(Semi-Definite Programming Sparse Autofocus， SDPSA)算法，简称为SDPSA算法。该方法利用LASAR压缩感知成像原理、图像最大锐度及最小均方误差准则，构造了欠采样条件下稀疏目标相位误差估计模型，并通过松弛半正定规划及迭代逼近方法实现压缩感知LASAR的高精度稀疏自聚焦成像。为了进一步提高SDPSA算法自聚焦运算效率，利用主散射目标区域提取，仅采用主散射区域进行相位误差估计。仿真数据和实测数据验证了本文SDPSA算法的有效性，相对于PGA自聚焦算法，SDPSA算法在欠采样数据时具有更好的成像质量。本文的主要结构如下：第2节简单介绍了压缩感知LASAR成像模型和稀疏成像原理，阐述了其阵列多相位中心的相位误差影响；第3节建立LASAR相位误差估计的半正定规划模型，提出了基于半正定规划的压缩感知LASAR稀疏自聚焦成像方法，并介绍了该方法的基本步骤；第4节利用LASAR仿真及实测数据，分析SDPSA稀疏自聚焦成像算法性能，验证了算法的有效性；第5节给出了本文算法的主要结论。

2 压缩感知LASAR成像原理

2.1 回波线性测量模型

LASAR 3维成像的典型几何模型如图1所示，其中X， Y和Z轴分别表示切航迹、沿航迹和高度向，线阵天线平行于X轴放置。假设LASAR系统工作于正下视成像模式，表示合成孔径时间内LASAR合成的2维等效阵列天线相位中心(Antenna Phase Center， APC)位置集，为2维APC总个数，，和分别为第个APC位置的X， Y和Z轴位置。在远场条件下，LASAR观测场景可近似为点散射模型，并对观测场景进行3维离散化。令分别表示LASAR离散观测场景的位置集和散射系数集，其中为观测场景的散射单元序列，为散射单元总数，，和分别为第个散射单元的X，Y和Z轴位置，为的散射系数。

图1 LASAR正下视3维成像的几何模型Fig. 1 The geographic model of down-looking LASAR imaging

假设LASAR系统发射线性调频信号，其原始回波经过距离压缩后，散射单元回波信号可表示为：

2.2 CS稀疏成像

CS理论指出当信号可稀疏表示时，可利用远低于Nyquist采样率进行采样，将原始信号重构问题转化为线性约束最优化求解问题，实现稀疏信号的精确重构[20]。若LASAR观测场景散射系数具有稀疏特征，根据CS稀疏重构理论，散射系数可通过求解如下范数最优化问题进行重构：

2.3 相位误差

由于受平台颤动、线阵抖动等联合运动误差影响，LASAR 2维APC存在位置误差，会导致 LASAR成像模型存在多维度、高阶项分布的复杂相位误表示LASAR回波数据中2维APC位置不确定引起的相位误差向量，此时LASAR回波信号的线性测量模型表示为：

若线阵天线阵元稀疏分布或回波信号欠采样，LASAR自聚焦稀疏本质上是一个病态求逆问题，直接求解最优化问题十分困难。目前，稀疏自聚焦算法通常采用基于某个准则的迭代算法以。如，文献[11，13]采用稀疏重构联合最小MSE 准则实现SAR稀疏自聚焦，文献[19]采用最大后验概率准则实现稀疏自聚焦，而不同稀疏自聚焦准则具有不同的优劣及特点。

3 半正定规划稀疏自聚焦成像

3.1 半正定规划自聚焦原理

为了实现欠采样数据条件下LASAR稀疏自聚焦，联合压缩感知LASAR成像原理、图像最大锐度及最小均方误差重构准则，本文提出一种基于半正定规划的LASAR稀疏自聚焦成像算法。该方法采用迭代估计方法，给定估计初值及参数后，主要由稀疏目标重构、相位误差估计两个独立过程循环实现，其具体理论推导及实现过程如下。

对于最小MSE准则，根据式(9)，回波数据的重构MSE表示为：

显然，式(18)最优化问题可采用恒定常数二次规划(Constant Modulus Quadratic Programming，CMQP)方法求解。相位误差向量的最优化估计可等效为在幅度值为1约束条件下的线性最小化求解。但是，由于式(18)是非确定性多项式困难问题，当向量维数大时，CMQP等式的最优化求解非常困难。因此，一般采用近似估计算法求解CMQP最优解。

近年来，半正定规划(SDP)方法成为求解CMQP等式最优化问题的热门方法。对于CMQP最优化问题求解，SDP过程的典型表达式为：

为了求解式(20)中的SDP问题，可利用现有的凸优化算法估计求解，如共轭梯度方法、内点法等。另外，目前许多学者也开发了各种SDP求解软件工具箱，如CVX工具箱[23]、SDPT3工具箱[24]等，可用于式(20) SDP问题的快速求解。获得矩阵后，最优向量可通过矩阵分解得到，具体实现方法可借鉴文献[25]，本文不再详述。若已估，则第次迭代中压缩感知LASAR成像模型的相位误差估计

3.2 算法流程

针对LASAR稀疏自聚焦成像，根据半正定规划自聚焦成像原理，本文SDPSA算法的主要步骤如表1所示，其主要步骤是迭代估计过程。

表1 SDPSA算法Tab. 1 SDPSA algorithm

一般情况下，SDPSA算法经过20次迭代左右可实现收敛。另外，SDPSA算法估计得到的相位误差可能会存在线性偏移项，该误差仅导致SDPSA自聚焦成像结果与原始图像存在固定偏移，此时可利用定标技术或其它线性相位误差估计方法进行补偿校正，本文不再详述。

4 实验结果

4.1 仿真数据

为了验证SDPSA稀疏自聚焦成像方法的性能，本节先利用LASAR仿真数据进行成像验证，并对比基于传统PGA相位误差估计补偿的后向投影(Back Projection， BP)算法及迭代最小二乘(IRLS)稀疏成像算法结果进行分析，分别简称为BP-PGA算法和IRLS-PGA算法。其中，IRLS-PGA算法是将BPPGA算法得到的相位误差对回波数据进行补偿后，再利用IRLS算法进行稀疏成像。为了简便，该仿真实验中只对LASAR单个等距离单元切面进行成像，实际中对全部等距离单元切面进行成像后进行合并即可得LASAR观测场景3维成像。

仿真中假设LASAR系统采用正下视工作模式，主要仿真参数如下：雷达中心频率为30 GHz，发射信号带宽为 1 GHz，信号采样率为1.2 GHz，脉冲重复频率PRF为1200，载荷平台飞行速度为线长度为5 m，线阵天线阵元为等间隔均匀分布，线阵天线阵元数为128，系统沿航向采样点数为128，距离向采样点数为1024。值得注意的是，为了便于CS测量矩阵构造及计算，仿真中线阵天线阵元间隔约为4个波长，只适用于小观测场景成像仿真，但大场景仿真时应要求阵元间隔小于半个波长以避免栅瓣影响。仿真中原始场景存在4个单点目标，其散射系数相同。在成像处理中，等距离切面成像空间与原始场景相同，平面空间范围为64 m×64 m，被均匀离散化成64×64个分辨单元。为了分析SDPSA算法在不同类型相位误差情况下稀疏自聚焦性能，在仿真回波数据中分别加入缓变和陡变的相位误差，并且在方位向-切航向平面随机抽取50%和25%回波数据进行成像对比分析。

首先，在回波数据中加入沿航向缓变、切航迹陡变的相位误差，其中沿航迹相位误差在为二次项函数、切航迹相位误差在区间上服从均匀随机分布，脉压后回波数据信噪比(Signal to Noise Ratio， SNR)为25 dB。图2给出了存在相位误差时全部回波数据、50%方位-切航随机抽取回波数据和25%方位-切航随机抽取回波数据情况下BP未自聚焦、BP-PGA、BP-SDPSA(即利用SDPSA算法估计得到的相位误差对BP算法进行补偿)、IRLS未自聚焦、IRLS-PGA和SDPSA算法的仿真点目标成像，其中图像显示经过归一化处理且幅度取对数，图像显示门限为-30 dB。从图2可知，在此相位误差情况下BP算法和IRLS算法未自聚焦时成像失效，点目标散焦严重；经过PGA算法相位误差补偿后，BP和IRLS沿航迹向成像质量得到一定提升，但切航迹向成像提升不明显，BP-PGA和IRLS-PGA结果非目标区域仍然存在大量的旁瓣或虚假目标，并且随着回波数据利用率减少自聚焦成像性能下降。相对于PGA算法相位误差补偿，SDPSA算法在全部回波数据、50%回波数据和25%回波数据条件下均得到点目标的良好聚焦成像结果，而且非目标区域几乎没有旁瓣和虚假目标。另外，经过SDPSA算法相位误差补偿后，在不同回波数据情况下BP-SDPSA成像结果较BP-PGA也抑制了沿航迹向和切航迹向的旁瓣水平，提高了自聚焦成像质量。布，脉压后回波数据SNR为25 dB。图3给出了存在相位误差时全部回波数据、50%回波数据和

25%回波数据情况下BP未自聚焦、BP-PGA、BPSDPSA、IRLS未自聚焦、IRLS-PGA和SDPSA算法的仿真点目标成像，其图像显示同图2。从图3可知，在此随机相位误差情况下PGA算法性能提升很小，尤其是非全部回波数据时BP-PGA和IRLSPGA目标散射严重。然而， SDPSA算法在全部回波数据、50%回波数据和25%回波数据时都实现了点目标良好聚集成像，原始场景中4个单点目标被精确恢复，并且BP-SDPSA成像结果旁瓣水平较BP-PGA也大大降低。实验结果验证了SDPSA算法在压缩感知LASAR稀疏自聚焦成像的有效性，说明了该算法可对LASAR稀疏回波数据条件下缓变及陡变相位进行估计和补偿。

图2 沿航迹二次项及切航迹随机分布相位误差下仿真点目标成像结果(上：全部回波数据；中：50%回波数据；下：25%回波数据)Fig. 2 The results of the point targets in the case of the along-track quadratic phase errors and cross-track random phase errors(Top： all samples; Middle： 50% samples; Bottom： 25% samples)

图3 沿航迹及切航迹随机分布相位误差下仿真点目标成像结果(上：全部回波数据；中：50%回波数据；下：25%回波数据)Fig. 3 The results of the point targets in the case of the along-track random phase errors and cross-track random phase errors(Top： all samples; Middle： 50% samples; Bottom： 25% samples)

最后，为了分析SDPSA算法在不同SNR及迭代次数情况下自聚焦性能，将图2中SNR变为0至30 dB，图4(a)给出了全部、50%和25%回波数据量时SDPSA算法成像结果与原始仿真场景的MSE。可知，SDPSA算法的MSE随着SNR增大而变小，并且在SNR为0 dB至5 dB时MSE大于0.1，但SNR大于10 dB后MSE均小于0.1且变化很小。因此，当脉压后回波数据SNR大于10 dB时，SDPSA算法可良好实现稀疏自聚焦成像。对于LASAR原始回波数据，通常其脉冲压缩后回波数据SNR可优于10 dB，满足SDPSA算法稀疏自聚焦成像要求。图4(b)给出了回波数据SNR为20 dB，全部、50%和25%回波数据量时SDPSA算法MSE随迭代次数变化曲线，可知全部数据成像时5次迭代后基本收敛，而在50%和25%回波数据时10次迭代后基本收敛，此时算法MSE均小于0.1。

4.2 实测数据

为了进一步验证本文SDPSA算法的有效性，利用本课题组地基等效LASAR实验系统获取的实测数据进行稀疏自聚焦成像分析。地基等效LASAR实验系统实物图如图5(a)所示，系统主要参数如下：雷达中心频率为9.62 GHz，发射信号带宽为80 MHz，信号采样率为120 MHz，线阵长度为1.25 m。实验场景为地面足球场并布置3个参考球目标，其光学图像如图5(b)和图5(c)所示，包含了两种目标类型：简单的球目标和较复杂的路灯铁栅栏，该观测场景中心到实验平台的距离大约为100 m。

图4 SDPSA算法MSE变化曲线Fig. 4 The MSE curve of SDPSA

图5 地基等效LASAR成像实验Fig. 5 The ground-based LASAR experiment

图6 (a)给出了实验系统天线扫描的2维轨迹，可等效为一个虚拟的2维天线阵列，此虚拟阵列大小为1.25 m×1.25 m，阵列的阵元个数为10416，此时观测区域成像不会出现栅瓣。图6(b)为图6(a)对应的脉压后回波数据，其中球1回波对应于第18个距离单元数据、球2和球3对应于第29个距离单元数据，路灯对应于第76个距离单元数据。为了分析测量阵元样本数对压缩感知LASAR稀疏自聚焦成像的影响，本节图6(b)选择个阵元的脉压后回波数据，并以此数据作为参考的全部回波数据，然后分别从该10000样本阵元数中随机选择5000和2000个阵元的回波数据作为稀疏2维阵列回波。在回波数据加入2维阵列平面相位误差，该相位误差在区间上服从均匀随机分布，并对比传统PGA算法，分析压缩感知LASAR自聚焦成像性能。

图6 地基LASAR合成阵列平面及回波数据Fig. 6 The virtual array antenna and the echo of the ground-based LSAR

图7 球目标实测数据稀疏自聚焦成像结果(左：BP-PGA算法；中：IRLS-PGA算法；右：SDPSA算法)Fig. 7 The sparse autofocusing results of the experimental balls data(Left： BP-PGA; Middle： IRLS-PGA; Right： SDPSA)

图7 给出了10000， 5000和2000阵元回波数据条件下采用BP-PGA， IRLS-PGA及本文SDPSA算法获得的实验球目标自聚焦成像结果，其中图像已归一化且显示门限为最大值-25 dB。从图7成像结果看出，在10000个阵元回波数据时3种算法对3个参考球目标均能良好自聚焦成像，且IRLS-PGA算法和本文SDPSA算法结果相似，说明PGA算法和本文算法在10000个阵元回波数据时自聚焦性能相当。但是，在5000和2000阵元回波数据成像时，BP-PGA算法出现严重旁瓣干扰，3个参考球目标在X-Z平面存在很高的旁瓣串扰；IRLS-PGA算法在球体目标周围出现虚假目标，且2000阵元样本时结果更加恶化，说明PGA自聚焦算法在数据欠采样时相位误差估计精度下降，并且随着样本数减少自聚焦性能变差。然而，SDPSA算法在5000和2000稀疏阵元样本时，成像结果与10000阵元基本一致，较IRLS-PGA算法结果大大抑制了虚假目标，说明SDPSA算法的相位误差估计性能优于PGA算法，在稀疏欠采样数据时仍可良好实现LASAR相位误差估计和校正。

图8 路灯目标实测数据稀疏自聚焦成像结果(左：BP-PGA算法；中：IRLS-PGA算法；右：SDPSA算法)Fig. 8 The sparse autofocusing results of the experimental light data(Left： BP-PGA; Middle： IRLS-PGA; Right： SDPSA)

图8 给出了10000， 5000和2000阵元回波数据条件下采用BP-PGA， IRLS-PGA及本文SDPSA算法获得的路灯铁栅栏目标自聚焦成像结果，其中图像已归一化且显示门限为最大值-20 dB。从图8成像结果看出，相对传统BP-PGA和IRLS-PGA算法，SDPSA算法在10000， 5000和2000阵元样本时对路灯和铁栅栏目标成像均有明显提升，同样验证了SDPSA算法稀疏自聚焦性能优于传统PGA算法，在稀疏阵元采样数据时可实现LASAR相位误差估计和校正。综上，地基LASAR实测数据实验结果验证了本文SDPSA算法的有效性。

5 结论

本文提出了一种基于半正定规划的压缩感知LASAR自聚焦3维成像算法。该SDPSA方法结合LASAR压缩感知成像原理及最小均方误差准则，利用松弛半正定规划方法及迭代最优方法估计相位误差，实现压缩感知LASAR的高精度自聚焦成像，并且为了进一步提高自聚焦算法运算效率，通过主散射目标区域进行相位误差估计。仿真数据和实测数据验证了本文SDPSA算法的有效性，实验结果说明相对于传统PGA自聚焦算法，SDPSA算法在稀疏采样数据条件下具备更好的稀疏自聚焦成像结果，可为LASAR 3维成像技术实际应用提供技术途径。在未来工作中，可开展算法优化研究，进一步提升SDPSA算法的运算效率。