谈求函数最值问题的四种常用方法

牛邦举

[摘 要]求函数最值问题是高中数学教学的重点之一，也是高考必考内容.探究求函数最值的方法有实际意义.

[关键词]函数；最值问题；方法

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2018）02003101

求函数最值问题对培养学生分析问题的能力、思维能力、数形结合能力和运算能力等有着重要意义.求函数最值问题对学生来讲是重点和难点，在教学中教师要千方百计加以突破.

一、函数最值的定义

一般的，设函数y=f（x）的定义域为Ⅰ，如果存在实数m满足，

（1）对于任意的x∈Ⅰ，都有f（x）≤m.（f（x）≥m）

（2）存在x0∈Ⅰf（x0）=m.

那么，我们称m是函数y=f（x）的最大值（最小值）.

在实际生产实践中，为了提高经济效益，必须考虑在一定的条件下，怎样才能使用料最省，费用最低，收益最大等问题.

二、几种常见的求最值的方法

1.配方法

主要用于二次函数或可转化为二次函数的函数.解题过程中要注意自变量的取值范围.

【例1】 已知函数y=（ex-1）2+（e-x-1）2，求函数y的最小值.

分析：将函数按ex+e-x配方，转化为变量ex+e-x的二次函数.

解：y=（ex-1）2+（e-x-1）2=

利用二次函数的性质求最值时，要注意自变量的取值范围以及对称轴与区间的相对位置.

2.换元法

换元法主要有三角换元法和代数换元法.在换元时要注意中间变量的取值范围.

【例2】 求函数y=x

+1-x

的最大值与最小值.

解：先求函数的定义域，得0≤x≤1.

则令x=sin2θ，θ∈0，π2，

则y=sinθ+cosθ=

3.反函数法

先求自变量的表达式，利用自变量范围推导y的范围.

【例3】 求函数y=x2x2+1（x∈R）

的最小值.

解：由

本题用求反函数的方法，通过x2≥0，推导出y的范圍.

4.不等式法

【例4】 某村计划建造一个室内面积800m2的矩形菜温室.在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m高的通道，沿前侧内墙保留3m高的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜种植面积最大？

解：设温室的左侧边长为xm，则后墙边长为800xm.

答：当左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜种植面积最大.本题利用均值不等式解决问题时，要考虑“一正、二定、三相等”.

（责任编辑 黄桂坚）