浅析高中不同种类的数列问题及解决办法

秦君涵

合肥市第八中学 安徽合肥 230000

数列是按照一定规律和顺序排列的一组元素，在高中数学学科当中，数列问题作为高中代数知识的一个分支，在考试中占有较为重要的位置。可以说在高中数学中的数列问题大部分都不是十分复杂，考查的方式基本上也是与其它题目融合在一起的，虽然高中数学中的数列知识相对于其它的数学知识而言更易于理解，也很好掌握，但通过阅读和研究数列相关的习题可以使我们了解到，大部分纷繁复杂的数列习题的题目种类大大地提高了数列问题在考试中的难度，所以要想充分并全面地掌握解决数列问题的方法和技巧，熟练解决数列相关问题的关键就在于正确地对不同的问题种类进行分类，并逐一找出统一的解法。本文将浅析高中数列问题的几个板块，并给出相应的解决方法。

1 高中数学中涉及到的基本数列知识

通过学习高中数学教材中数列的相关知识，我们可以归纳总结出，高中数学中的数列知识主要涉及到的内容有两方面，一方面是等比数列，另一方面是等差数列。无论是等差数列还是等比数列，在考试和考查的过程中，主要的知识考查点就是围绕着数列的求和，求数列的通项式或者是求数列的等差和等比等[1]。我们在充分了解数列要考查的知识内容以后，接下来要做的就是对要求的数列进行归纳、分类和总结。

2 高中数学课程中所学数列的基本分类

通过对高中数学课程的归纳和总结，并对所涉及到的习题进行收集整理，高中数学课程中的数列问题，大致可以分为以下几种：第一种是简单的等差与等比数列问题，这一类问题主要考查的就是高中生对等差数列和等比数列的概念和所涉及的最基础知识的理解，考查的知识点也是围绕着等差数列和等比数列的求和所展开的。等差数列所用到的公式主要是；等比数列所用到的公式主要是；第二种是求数列的通项问题，这一部分相对而言比较难，并且出现考试题目的概率也是很大的，因为高中课程中数列的主要内容就是围绕着等差数列和等比数列开展的，所以这类问题所要用到的知识点和公式是等差数列的通项式公式，等比数列的通项式公式[1]。在高中数列知识的教学与考试考查当中，学生所应用的公式大致上就是以上四个公式。基本上，所有考试考查的习题都需要应用到上述四个公式，所以牢记并掌握以上四个公式的用法是极其重要的。

3 解决数列问题的具体方法应用

我们通过讨论和研究会发现解决高中数学知识中的数列问题，所用到的方式和方法有很多，比如数列问题分为求通项和求和两种类型，求通项问题有两式相减法、换元法、配凑法等，求和问题有整体换元法、分组求和法和裂项相消型法等，而学生所掌握的方式方法是解决数列问题的关键，也是解决数列问题最有效的途径[2]。如何做到使用正确的解题方法来解决问题是我们讨论此问题的关键所在。

比如，两式相减法，其也叫作错位相减法，是将递推公式分别以n和n+1形式呈现出来，然后将两个式子相减，最终得到一个新的更好的式子，从而实现对递推公式处理的方法[2]。

比如，分组求和法是常见的一种数列求和的方法，顾名思义分组求和法是将原有的数列拆分为2个或者是多个数列，然后对拆分后的数列一一进行求和，最后将所有的求和结果进行合并，从而求出原有数列的前n项和。下面我们举一个例子，看如何使用分组求和法来进行解题。

例如，换元法

换元法可以将数列递推中的部分式子作为整体，令其为新的数列，以化简问题的方法。如2(n+1)an+1=4nan+3，我们令bn=nan，则 2bn+1=4bn+3，2(bn+1+3/2)=4(bn+3/2)

再令cn=bn+3/2，得到2cn+1=cn，以此达到简化数列的目的。

例如，配凑法

配凑法是指将递推中难以利用的部分，进行相互搭配，以化简递推的方法。如an+1=5an-6an-1-4，进行配凑an+1+λ=5(an+λ)-6(an-1+λ)→ 5λ-6λ-λ=4，解 得 λ=2，所 以(an+1+2)=5(an+2)-6(an-1+2)，由此将无法利用的项配入递推中。

例如，列项消元法，又叫做裂项消减法，它的具体做法是通过对列项的合理拆分，达到消元的目的。在具体的数列题目中，如果每一项都能够拆分为两项之差，且前一项与后一项恰好能够抵消掉，这就满足了裂项消元法的基本条件和计算过程。通过裂项消元法这一系列的应用和化简，最终会消减掉数列中的很多项，最理想的状态就是只剩下第一项和最后一项，数列中其余的项都被一一抵消掉了。裂项消元法的中心思想就是将数列中的通项进行简化和消除，最终达到求和的目的。举一个简单的利用裂项消元法的例题。

例题3：已知数列{an}的通项公式an=（2n-1）/3n，求数列{an}的前n项和Sn.

解题：利用裂项消元法

4 结语

在日常特殊的数列求和过程中学生往往可以采用几种方法去解决问题，但是哪一种是解决问题最好的或者是最有效的方法，在应用时可以选择简易的或熟练的方法来解决问题，这就需要学生通过大量的习题练习和分析才能作出更好的选择。本文在论述的过程中所提出的几种解决特殊数列求和的思路和方法是较为常见的数列求和的解题思路。本文论述和讨论的目的在于抛砖引玉，引导高中生在解题的过程中寻找正确的解题思路，并且加以熟练掌握和应用，强化对上述方法的理解。若想对数学知识的学习有个内化的过程，那么高中生就应该不断地练习，深刻的领悟，从而提高自身的数学逻辑思维和计算运算能力，提升数学的解题思路、解题效率和准确率。