同一柱面电容传感器探头数学模型解析解*

2018-04-09包本刚朱湘萍刘志壮侯意仁

传感器与微系统 2018年4期

包本刚, 朱湘萍, 刘志壮, 侯意仁

(湖南科技学院电子与信息工程学院，湖南永州 425199)

0 引言

在工程实践和科学实验中，常需要检测电容传感器[1]的电容值或者改变量来获得所需的其他物理量[2～7]，近几年来对电容传感器的设计及研究应用越来越多[8～16]，但得到的电容传感器数学模型均为近似模型，误差较大，如文献[8]提出了单一平面电容传感器数学模型，用于测量木材的含水率，检测精度高时误差难以控制，且计算量非常大，操作不便；文献[9]设计了压辊传感器模型，可对稻谷干燥水分进行动态监测，但在10 %～33 %含水率处误差较大，且含水量较大时，检测时间较长；文献[10]设计了阻抗传感器，小麦秸秆的湿基含水率在10.4 %～19.7 %以外误差较大等。

为了更准确地测量颗粒物体的含水率，本文利用电容器定义、静电场中的导体、电介质及电容器的边缘效应等电磁理论，提出了同一柱面的电容传感器探头的数学模型，推导出同一柱面电容传感器探头的电容量与被测颗粒物体介电常数的规律，为颗粒物体的含水率检测及监控设计了一种新型的电容传感器。探头结构简单，操作方便，测量含水量发范围比较广，具有较高的实用性。

1 同一柱面电容传感器探头结构及工作原理

1.1 结构设计

如图1所示，电极I，II采用长方形铜箔对称粘贴在绝缘圆筒的外壁，内外半径分别为R3,R4，长和宽分别为a,b；绝缘圆筒采用PVC塑料圆筒制成，内外半径分别为R2,R3；隔离电极(地电极)，采用铜箔粘贴在绝缘圆筒的整个内壁，内外半径为R1,R2。

图1 同一柱面电容式传感器结构

1.2 工作原理

同一柱面电容传感器尺寸、形状、位置及环境温度一定时，电容值由被测颗粒物体介电常数唯一确定，且电容量与被测颗粒物体介电常数是一一对应的单值函数；当被测颗粒物体的含水量一定时，其介电常数唯一确定，当含水量变化时，其介电常数相应发生变化，传感器的电容量亦随之发生相应的变化；实现通过检测同一柱面电容传感器探头的电容量的变化推算被测颗粒物体的含水量。

2 同一柱面电容器传感器探头数学模型

2.1 模型建立[1]

Δ2V=0,(x,y,z)∈Ω∪(R3-Ω1-Ω2-Ω)

(1)

V|Ω1=V1,V|Ω2=V2

(2)

(3)

Vi|∂Ω=V0|∂Ω

(4)

(5)

对于同一圆柱面电容传感器探头，采用柱面坐标，设两金属电极板所占的空间区域为

(6)

(7)

被测颗粒物体外围空间采用球坐标，其区域为

II={(r,θ,φ)|r>R4,β<θ<π-β,0<φ<π}

(8)

2.2 传感器探头电容量介电常数变化规律

假设两金属电极板的电势分别为V1,V2均已经确定，根据对称结构，V1=-V2

(9)

在I区域，管内电解质是圆柱分布，可取柱坐标系，I区域内的电势V(r)为r的函数

由式(1)得

I区域内的电势的通解为

V(r)=A1lnr+B1

(10)

在II区域，由于被测物料相对于柱面电容器，可以视为无限大，外电场的分布可以视为球形分布，取球坐标，则II区域的电势V(r)为r的函数

(11)

由式(3)～式(11)得VI(R2)=0，VI(R3)=V1，VII(R4)=V1，VII(∞)=0,即

(12)

式中A1,A2,B1,B2为常数。I区域内的电势VI为

(13)

(14)

又由E=-ΔV，式(13)、式(14)得

(15)

由式(15)推出右侧金属板内侧电荷q1、外侧电荷q2分别为

(16)

(17)

式中ε1为柱面电容器内部PVC电介质的介电常数；ε2为被测颗粒物体的介电常数；a，b分别为长方形铜箔极板的长与宽。由式(1)、式(16)、式(17)及电容器电容的定义式得

(18)

式中ε0为真空介电常数，ε0=8.85×10-12C2/N/m2；ε1r，εr分别为PVC、颗粒物体的相对介电常数。

3 算例测试

由式(18)可以看出：同一柱面电容传感器探头的电容量随被测颗粒物体介电常数呈线性变化。采用PVC塑料圆筒设计电容传感器探头，若外径R3为21 mm、内径R2为14 mm、相对介电常数εr=3，电极I、电极II为长a(20 mm)×宽b(50 mm)长方形铜箔对称粘贴在圆筒的外壁，隔离电极长为50 mm，粘贴在圆筒的整个内壁，由于铜箔很薄，铜箔内外半径相等，则R4≈R3，根据式(18)得电容量C(pF)

C=0.21εr+1.56

(19)

当被测物体为真空，εr=1代入式(19)，得探头的电容量C=1.77 pF，而实验测试电容量C′=1.70 pF，计算值与测量值的误差大约3.95 %。

为了检验电容传感器探头的可行性，采用稻谷作为检测对象，在同一温度下对不同含水率的谷物，测量了同一柱面电容传感器探头的电容量，测量数据如图2所示。