“组合图形的面积”教学纪实、反思与研究

杨伟光 杨戈

教学内容：人教版小学《数学》五年级上册第六单元“多边形面积”第99页 “组合图形的面积”。

教学目标：

1.学生通过对5种基本图形的拼组，能够理解组合图形的形成过程，形成分割或添补求组合图形面积的策略。

2.通过小组合作探究，探究解决问题的多种方法，拓宽学生的思维空间。

3.滲透转化的数学思想，将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积。在小组合作探究中培养学生的合作意识和创新精神。

教学重、难点：理解组合图形的形成过程，能够形成分割或添补求组合图形面积的策略。

一、 复习导入

师：请大家回忆，我们到现在为止学过的平面图形有哪些？

生：学过的平面图形有长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形。

师：我们从直观上认识的图形其实不仅仅是这5种，但是我们对这5种图形进行了比较深入的了解和学习，以上这5种平面图形的面积该如何表示？

生1：我知道三角形的面积：底×高÷2，用字母表示是S=ah÷2。

生2：我知道平行四边形的面积：底×高，用字母表示是S=ah。

生3：我知道梯形的面积：（上底+下底）×高÷2，用字母表示是S=（a+b）×h÷2。

生4：我知道长方形的面积：长×宽，用字母表示是S=ab。

生5：我知道正方形的面积，正方形的面积是边长×边长，用字母表示是S=a2。

师：那么今天我们将继续学习有关平面图形面积的知识，让我们共同走进今天的学习内容——组合图形的面积。（板书课题。）

二、 探究组合图形形成过程

师：看到这个课题大家是不是会产生一些思考？或者说说对“组合图形”你是怎样理解的？就像当你知道由一个新老师来上课时，你们是不是会猜测老师长什么样，有什么特点，等等？现在来说一说当你看到课题时的想法。

生1：我认为组合图形是由两个我们认识的图形拼装在一起的。

师：她说组合图形是由两个我们认识的图形拼装在一起的，我觉得表述的有点局限，你们再思考一下。

生2：我觉得组合图形是由几个图形组合在一起的。

师：我觉得这个词用起来会好一些，是不是一定要局限于两个图形呢？（生：不是。）

师：那接下来我们可以动手操作体会一下，老师给每一桌准备了一套学具材料，这套学具材料由同桌两名同学共同使用，由于我们刚开始接触，因此从最基本的开始，用两个图形按照你的想法拼出你喜欢的组合图形。

（学生动手开始拼组。师巡视，让两名学生黑板拼组。）

师：活动先到这里，刚才老师看了一下，每个同学都按照自己的想法选择了其中的两种图形进行了拼组。我选择两名同学到黑板展示拼组情况。首先我们看第一名同学的拼组情况，这个图形像什么？（生：房子。）说明数学跟我们的生活有密切的联系。再来看第二个图形，如果我们留心观察，这个组合图形与我们门前的花坛很像，我们就先选择这两个图形进行研究。

师：我先找第一名同学来说一说，你这个图形是怎么构成的？

生1：我这个图形是由一个三角形和一个正方形构成的。

师：那第二个图形呢？

生2：我这个图形是由一个长方形和一个正方形构成的。

师：通过刚才你们亲自动手，实践感知，我们发现可以借助平面图形之间的组合来构成组合图形。（师板书组合图形。）

师：我把这个小房子图形进行一些变动，把它变成这样的形式，我如果要求这个图形的面积，你现在有方法吗？如果你有方法有思路就说给我们听一听。

生：先把三角形的面积求出来，再把正方形的面积求出来，加在一起，就可以求出这个图形的面积了。

师：说得不错，但是如果你要是能先说一下你的想法就更好了，你是把这个图形进行了怎样的处理，你能不能再重新说一遍？

生：先把它切割成三角形和长方形。

师：切割这个词说得特别好，继续说。

生：先把它切割成一个三角形和一个正方形，再把三角形和正方形的面积求出来，加在一起，就可以求出这个图形的面积。

师：怎么样？大家认同吗？

生：好！（鼓掌。）

师：我觉得你们可能在犹豫下面的这个图形到底是长方形还是正方形，那我们靠什么可以确定这个是哪种图形呢？大胆说不用举手。

生：用直尺量。

师：好办法，量一下这个边和这个边就可以了，其实你就是想要知道什么？

生：边长。

师：一旦我们获得了必要的数据，就能确定这个是长方形还是正方形，现在我先按照同学的想法，把它切割开，把它分成了一个三角形和一个正方形，我把你分割的过程体现在这儿。

师：也就是说你的想法是把这个图形分为这样的两个基本图形，然后分别求得这两个图形的面积之后，再把两个图形的面积加在一起，相加之和就是这个组合图形的面积了。

师：刚才这个同学用了一个很好的词叫作“切割”，数学里我们称为“分割”。这个词就把我们的思路体现了出来。我们发现组合图形可以通过分割的方式，将它还原回我们最初图形组合的一种构成状态。在一个事物的完成过程中，我们可以从正或者从反两个方向去考虑问题。我的问题又来了，对于这个图形，你们刚才采用了一种分割方式，那这个图形是不是只有这样一种分割方式呢？（生：不是。）

师：那就请你们继续表达你们的想法。

生：我可以把这个图形分割成两个一模一样的梯形。

师：我觉得你这么说，可能有些同学听得还不是太清楚，你到前面来，把你的想法更具体地给大家展示出来。

生：把这个图形分割成两个一模一样的梯形，再拼成一个长方形，然后再计算，就是这个组合图形的面积。

师：我觉得他前面的观点我是赞同的，他把这个图形分割成两个梯形，分成两个梯形我们还用不用再拼了？（生：不用。）

师：如果我能获得两个梯形的面积，相加就可以得到这个组合图形的面积。

师：这个分割过程怎样才能在图中清楚地表示出来呢？（生：画线。）

师：那画什么样的线？（生：虚线。）

师：我就按照你们的想法把它画出来。

师：我们发现，借助于分割的方式，可以把组合图形还原成最原始的图形组合的一个状态。我希望大家在解决问题中能以更多的角度去观察问题，获得更多的方法。我们来看第二个图形，把这个图形改变一下，更像我们门前的这个花坛。

三、小组合作探究

师：老师为每人准备了一张题卡纸，这幅图形的数据，已经在图中标出来了，以4个人为一个小组共同研究，把你的想法说给你同组的组员，并写在你的题卡纸上。如果别的同学介绍了他的想法，你觉得很好，你可以把他的想法也写在你的题卡纸上，现在开始吧！

（小组讨论研究，师巡视指导。）

师：请同学们迅速坐好，我刚才看了一下，发现每组同学都很积极地在一起研究，那现在哪组可以到前面，把你们研究的结果汇报一下？其他同学请认真倾听。

生：我想先求出整个面积，再将缺口面积求出来，整个图形的面积减去缺口图形的面积，就是这个图形的面积。

师：我发现他的这个想法另辟蹊径，刚才我们在研究的过程中，得到的是一种分割方法，他恰恰跟我背道而驰，但是这条路能不能走通？（生：能。）说得很有道理，那他就是对的。

师：他的想法是先求出整体图形的面积，其实在你的脑子里形成了一个添补的过程，那我把添补的这一块补上去，为了更好地区分，用另一种颜色来补，补完之后，这变成了一个什么图形？（生：长方形。）这就可以求出它的面积了，那在补的这块又是什么图形？（生：长方形。）用这个大长方形的面积减去这个小长方形的面积就得出组合图形的面积了。

师：这是一个多么好的发现，这么好的一个思路，我们就把它表示出来，刚才我们总结出了分割的方法，他的这种方法完全跟我们总结出的相反，我们叫它什么？（生：修补。）用词不一样，有的叫修补，有的叫添补，我觉得添补更合适一些。通过这种添补的方式，我们也可以解决这个组合图形的问题，也能够把它转化成图形的组合结构，只不过它就变成了两个长方形的组合形式，但是有一个不在我们的组合图形之内，我们需要把它怎么样？（生：剪下来。）思路有了，请把你的计算过程说一说。

生：20×15=300cm2

10×（15-10）=50 cm2

300-50=250 cm2

师：跟你们的结果相同吗？（生：相同。）

师：结果相同，是不是有些同学和他的方法不一样，谁来说说你的方法？

生：我的方式是从中间这切割。（动手操作。）然后求出左右两块图形的面积，再把这两块面积相加，就等于这个图形的面积了。

师：你把刚才的思路直接写下来。（生写思路。）我们一起检验一下你的计算过程。我觉得在检验过程中我们既要看、要听、要想，还要记，如果他的方法和你的不同，但他的这种方法你又认可，你就应该把它写下来。

师：还有想说的吗？

生：我的想法是把这个图形分割成两个梯形，算出这个梯形的上底、高，就可以算出这个图形的面积，再算出另一个图形的面积，相加就等于这个组合图形的面积。

师：还有没有别的方法？

生：我的想法是从这分割，（动手分割）先求出上面图形的面积，再求出下面图形的面积，再把它们两个相加，就是整个图形的面积了。

师：同学们想了这么多方法，但我发现小组讨论时有同学的观点不是这样的，比如有些同学是这样想的，我把这个同学的想法呈现出来。

师：你们觉得这样的方法怎么样？（生：麻烦。）麻烦在哪里呢？

生：分割成两块就可以解决这个问题，没有必要再浪费时间去分成三块。

师：这就告诉我们一个道理，在分割的过程中，要从简便的角度去想，尽量分成最少的块数，这点大家赞成吗？（生：赞成。）

师：我们达成一致了。无论用以的哪一种方法去解决这个问题，最后的结果改变了吗？（生：没有。）因此当我们打算解决一个问题时，尽量要多角度地去观察和思考，这就是数学思想。

师：不知不觉我们该下课了。刚才有个同学悄悄和我说，他还有其他方法解决前面图形的面积问题。我刚才没让他说，但是我想在下课之前让他说说，请到前面来把你的想法说给大家听听吧！

生：我想把这个长方形减下来，然后再补上。

师：我们又多了一种方法，但是要这样做，得有条件支撑，剪下的长方形由于长是10cm，宽是2.5cm，所以才能把它剪切再移到这。

四、总结

师：在解决问题时，我们要不停地思考，这是学习数学必须要具备的探索精神，希望同学们在今后能够多角度地观察问题，解决问题。

反思：

本课设计的整体思路定位在组合图形和图形的组合之间的辩证思想上，使学生在活动中体会从分到组，从组到分的过程，建立所学知识与已学知识之间的联系，从而形成求组合图形面积的策略。

为发挥学生的主体作用，我利用小组合作的学习方式，将问题直接抛给学生，激發学生的思维，引发学生思维的碰撞，最终呈现出多样的解决方法，开拓了学生思维的空间。

从拼组的角度来看，我预设合作交流中学生易生成分割的思想，但在课堂生成时，学生生成了添补的思维，将L型添补成一个长方形，我以此为契机引出解决本课问题的第二个解决策略——添补。添补思维的生成也使我深刻地意识到，在教师有效的指导下，只要给予学生充足的时间与空间，学生一定会带给我们更多不一样的精彩。

评析：

本课教学价值取向清晰，尊重学生的认知心理和情感需要，把学生的“学”作为教学的出发点和归宿，高度尊重学生，充分信任学生，全面依靠学生，把学习的主动权交还给学生，关注知识技能同时，更加关注学生的情感、态度和价值观。

问题解决的多种方法是由学生经过独立思考、同伴讨论、质疑、归纳、概括而得出的。在小组汇报环节，一名学生在前一名学生分割为两个梯形的基础上，又进一步将其中一个梯形分割为一个三角形和一个长方形，这是学生容易出现的问题。教师抓住契机，在肯定学生的同时，对方法进行了分析，引发学生对这类问题的思考。学生思维的深度和广度在讨论中得到提升。

本课结构设计突出目中有人，学生在民主、平等、自由、和谐开放的课堂中亲历方法探究、交流、反思、质疑和建构全过程，积极主动参与，积极思考，促进了方法理解和内化。每个学生的主动思考和交流需要得到尊重，渴望探究多种方法解决问题的愿望需要得到满足。比如在小组合作环节，一名学生又思考出上一环节解决小房子图形问题的方法，面对这种冲突，教师没有放弃这个学生思维的生成，而是机智地让学生先保留想法，在即将下课时，为学生创建展示的平台。

教师在教学环节做到了心中有数，手中有法，多次对学生的思维进行推动和引导，使学生在体验中悟法得法，激发了学生的无限潜能。学生在5种基本图形的拼组活动中体会了组合图形和图形之间的联系，在独学、对学、群学和分享中建构知识同时发展思维力。同时此课让学生感受到了民主、平等、和谐、自由和开放课堂的美好，实现了数学课上知识是基础、能力是关键、思维是核心、发展是终极目标这一理念。学生在积极主动参与中学会了学习，学会了思考和质疑，切实提升了思维品质。

编辑/魏继军