采用不同轨道形状的轨道非线性能量阱减震性能研究

王菁菁，浩文明，刘志彬

（湖南工业大学 土木工程学院，湖南 株洲 412000）

0　引言

自1972年Yao提出结构控制概念以来，结构控制技术在土木工程领域迅速发展。结构控制[1]可分为被动、主动、半主动和混合控制，其中，结构被动控制[2]具有不需要外部能源输入、安装维护方便等优点，在工程实践中应用最为广泛。非线性能量阱[3]（Nonlinear Energy Sink，简称NES）是一种新型的被动控制方法，由一个质量或一组质量组成，通过阻尼单元和非线性弹簧单元与主体结构相连。由于NES具有本质非线性回复力，在主体结构频率发生变化后依然能保持较高的减振性能。以往研究的NES[4]大多利用几何方法实现NES的非线性，本文所研究的轨道非线性能量阱（Track Nonlinear Energy Sink，简称轨道NES）通过附加质量块沿特殊设计的轨道运动产生非线性回复力，较以往研究的NES展现出更强的非线性。Wang 等人[5-7]对两自由度主体结构附加轨道NES在脉冲荷载作用下的减振性能进行了数值模拟和试验研究，NES轨道形状采用四阶多项式。研究发现，轨道NES能够有效降低结构在脉冲荷载下的响应，但在地震作用下，使用脉冲荷载优化得到的轨道NES减震性能器与脉冲荷载作用下的减振性能存在一定差距。本文推导轨道NES的回复力表达式、轨道NES系统运动方程，并通过数值模拟考察两自由度主体结构附加轨道NES在地震作用下的响应。由于通过脉冲荷载优化得到的轨道NES在地震作用下减震性能尚待改进，本文对地震作用下轨道NES进行了优化并考察了轨道形状函数对其减震性能的影响。结果表明，针对地震作用优化后的轨道NES展现出优越的减震性能，轨道形状函数采用三阶多项式较四阶多项式控制效果更佳，更利于实现。

1　轨道非线性能量阱

轨道NES是一种新型的NES，轨道NES以非线性实现方法为出发点，通过特殊设计的轨道提供非线性回复力，可将其视为沿轨道运行的小车（图1）。轨道NES的轨道形状函数采用高阶多项式，在初始位置附近，其切线刚度很小，随着NES位移的增大，其切线刚度也随之呈多阶幂增大。

假设NES质量块不发生转动且时刻与轨道保持接触，即在求解NES回复力表达式时不考虑其转动惯量且回复力连续，轨道NES的自由体受力图如图2所示。其中，mN为NES质量，uN和vN分别为NES相对于轨道中心最低点的水平位移和竖向位移，z为轨道的水平位移，h（uN）是轨道的形状函数，和vN相等，可以通过uN表示。FNomal是NES作用在轨道上的法向反力，θ为轨道切线角度，可通过对轨道形状函数h（uN）求导得到，g为重力加速度。

轨道NES的回复力表达式和运动方程[8]可通过拉格朗日方法得到：

图1　轨道NES示意图Fig.1　 Conceptual model of track NES

图2　轨道NES自由体受力图Fig.2　 Free body diagram of track NES

此处暂不考虑轨道NES阻尼，对式（2）和（4）求偏导并展开，可得：

将式（5）、（6）、（7）和（8）分别带入拉格朗日方程，可得 NES 的运动方程为：

除去运动方程中惯性力项和轨道加速度作用的外力项，可求得轨道NES的回复力表达式为：

2　系统运动方程

本文使用一两自由度钢框架结构作为主体结构，轨道NES置于结构顶层。该主体结构第一、二层质量分别为24.3kg和24.2kg，第一、二层刚度分别为6820 N/m和8220 N/m，结构模态阻尼比为0.1%，结构第一、二阶固有频率分别为1.63Hz和4.56Hz。模型示意图如图3所示，其中，m1和m2分别为第一、二层的质量，k1和k2分别为第一、二层结构刚度，c1和c2分别为第一、二层阻尼系数，cN为轨道NES阻尼系数，x1和x2分别为第一、二层质量相对地面的位移，其它符号含义与图2相同。

系统的运动方程采用拉格朗日方法得到。系统的总动能为：

图3　轨道NES系统示意图Fig.3　 Phenomenological Model of track NES system

系统的总势能为：

非保守力所做虚功为：

分别对式（11）、（12）和（13）求x1、x2和uN的偏导可以得到第一、二层和NES的运动方程为：

3　轨道非线性能量阱数值优化

主体结构附加轨道NES的数值优化使用MATLAB计算软件，通过State-Space模块和Differential Equation Editor模块建立Simulink模型。优化使用脉冲荷载，通过设置主体结构初始速度（0.15m/s）施加。轨道形状函数采用高阶多项式，考虑到轨道NES回复力的非线性程度、轨道NES的减振效率和轨道NES试验制作等因素，轨道形状函数选用四阶多项式，NES阻尼[9-10]根据已有试验经验取经验值1.6 N·s·m-1。对轨道NES轨道形状函数系数a和NES质量进行优化，使用层间位移指标作为优化指标，当层间位移指标最小时，认为此时轨道系数a和NES质量为最优值。经过优化，得到轨道NES的参数：轨道形状函数为 ，NES质量[11]为2.425kg，占主体结构质量5%。

图4对比了轨道NES系统和锁住系统在初始速度为0.15m/s时的第一层层间位移响应。锁住系统将NES附加质量与顶层锁住，作为未受控制结构进行对比。经过脉冲荷载优化后的轨道NES减振效果明显，15s内即可降低结构响应70%以上。

图5对比了轨道NES系统（通过脉冲荷载优化得到）和锁住系统在地震作用下（Imperial Valley, 1940, El Centro，PGA为0.32m/s2）的层间位移响应。为了使结构响应在合理范围内，本文对选用的地震均乘以相应的缩小比例系数。轨道NES能够降低结构层间位移响应，特别是在10s～20s内，轨道NES减震效果非常明显，结构响应仅为锁住系统的30%以下，但25s后，结构层间位移响应一直保持在较高水平，容易造成结构破坏。

经脉冲荷载优化得到的轨道NES能够降低结构在地震作用下的响应，但与脉冲荷载作用下轨道NES 15s内降低结构响应70%相比尚有一定差距。其主要原因在于地震作用包含的频率成分复杂，根据简单脉冲荷载优化得到的轨道NES难以达到最佳的减震性能。

图4　0.15m/s初始速度的层间位移Fig.4　 Story drift under 0.15 m/s initial velocity

4　地震作用下参数优化

本研究选用12条美国加州地区的地震记录（表1）。同时，为对比不同轨道形状函数下轨道NES的减震性能，分别对三阶多项式、四阶多项式和五阶多项式轨道NES进行了优化。二阶多项式轨道NES的回复力-位移关系几乎呈线性，未纳入本文的非线性控制研究。地震作用下轨道NES待优化参数包括轨道形状函数系数和NES阻尼，优化主要分为以下三步：

（1）选择具有组合出最佳减震性能潜能的轨道形状函数系数和NES阻尼范围；

（2）分别对这12条地震波作用下主体结构附加不同参数组合（轨道形状函数系数-NES阻尼）的轨道NES进行模拟，得到不同参数组合下的层间位移指标；

（3）对同一参数组合，取这12条地震波作用下的层间位移指标平均值，即得到平均层间位移指标，当平均层间位移指标最小时，认为此时对应的NES参数为最优参数。

经优化得到三阶多项式、四阶多项式和五阶多项式轨道形状函数系数分别为130、4900和96000，NES阻尼为8 N.s.m-1。由于阻尼优化值相差较小，不同轨道形状函数的轨道NES阻尼取值相同。

表1　不同轨道形状函数轨道NES系统的层间位移响应

表1列出了各地震波作用下三阶多项式、四阶多项式和五阶多项式轨道NES与锁住系统的层间位移响应比值。观察原始刚度下轨道NES减震性能发现，三阶多项式轨道NES的减震性能最优，大多数地震波作用下响应可降至锁住系统响应的20%以下。当结构刚度下降至原始刚度50%时，多数地震波作用下轨道NES的减震性能出现不同程度的退化，但仍具有一定的减震性能，不同轨道形状的轨道NES减震性能相当。

图5　使用原始参数地震作用下结构层间位移Fig.5　 Story driftunder seismic excitation using original optimized parameters

图6和图7分别对比了优化后三阶多项式轨道NES系统和锁住系统在1号地震波作用下原始结构刚度和50%结构刚度的结构响应。当主体结构刚度保持不变时，轨道NES的减震效果非常明显，能够减小结构响应70%以上；当结构刚度下降至原始刚度的50%时，轨道NES仍能保持较高的减震性能，具有较好的频率鲁棒性，能够起到保护结构的作用。

图6　地震波作用下原始刚度结构层间位移Fig.6　 Story drift of original stiffness structures under seismic excitation

图7　地震波作用下50%刚度结构层间位移Fig.7　 Story drift of 50% stiffness structures under seismic excitation

图8和图9为4号地震波作用下的NES相对顶层的位移时程和不同轨道形状函数下的轨道形状真实比例图。4号地震波作用下NES相对位移最大，峰值接近0.06m。考虑到在设计NES过程中要预留一定的安全距离，因此，图9按真实比例绘制了0.07m内的轨道形状，从图中可以看出，四阶多项式和五阶多项式轨道形状极为陡峭，只有三阶多项式轨道形状较为平缓，便于实际轨道NES的制作与加工。因此，在本文所考察的地震波作用下，应使用三阶多项式轨道NES进行减震控制。

图8　4号地震波作用下的轨道NES位移Fig.8　 Relative displacement of track NES under earthquake No.4

图9　真实比例轨道形状Fig.9　 Track shapes in real proportion

5　结论

通过对两自由度主体结构附加轨道NES进行数值研究发现：

（1）通过脉冲荷载优化的轨道NES减震效果尚待提高，不能完全使用脉冲荷载优化设计参数对轨道NES进行减震设计；

（2）通过地震优化的轨道NES展现出了优越的减震性能且对结构刚度变化展现出较高的鲁棒性，在本文所考察的大多数地震波作用下，可减小结构地震响应达70%以上；

（3）通过对比不同阶次多项式轨道形状发现，三阶多项式轨道NES减震性能最佳且其轨道形状较容易在试验中实现，在轨道NES减震设计中，应考虑使用三阶多项式轨道形状。

参考文献:

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