分类讨论思想在解题中的应用

姜章波

参数广泛地存在于中学数学的各类问题中，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标准，含参数的问题可分为两种类型，。一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。本文拟就第一类问题的解题思想方法――分类与讨论作一些探讨，不妥之处，敬请斧正。

解决第一类型的参数问题，通常要用“分类讨论”的方法，即根据问题的条件和所涉及到的概念；运用的定理、公式、性质以及运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类，然后逐类分别加以讨论，探求出各自的结果，最后归纳出命题的结论，达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易。化繁为简的解题策略和方法。

一、科学合理的分类

把一个集合A分成若干个非空真子集Ai（i=1、2、3···n）（n≥2，n∈N），使集合A中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即

① A1∪A2∪A3∪···∪An=A

②Ai∩Aj=φ（i，j∈N，且i≠j）。

则称对集A进行了一次科学的分类（或称一次逻辑划分）

科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。

二、确定分类标准

在确定讨论的对象后，最困难是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有三种：

（1）根据数学概念来确定分类标准

例1：绝对值的定义是： |a|=a（a>0）

0（a=0）

-a（a<0）

所以在解含有绝对值的不等式|log13 x|+|log13 （3-x）|≥1时，就必须根据确定log13 x ，

log13 （3-x）正负的x值1和2将定义域（0，3）分成三个区间进行讨论，即0

1≤x<2，2≤x<3三種情形分类讨论。

例1、 已知动点M到原点O的距离为m，到直线L：x=2的距离为n，且m+n=4

（1）求点M的轨迹方程。

（2）过原点O作倾斜角为α的直线与点M的轨迹曲线交于P，Q两点，求弦长|PQ|的最大值及对应的倾斜角α。

解：（1）设点M的坐标为（x，y），依题意可得：x2+y2+x-2= 4

根据绝对值的概念，轨迹方程取决于x>2还是x≤2，所以以2为标准进行分类讨论可

得轨迹方程为：y2 = 4（x-1）（-1≤x<2）

-12（x-3）（2≤x<3）

解（2）如图1，由于P，Q的位置变化，弦长|PQ|的表达式不同，故必须分点P，Q都在曲线y2=4（x+1）以及一点，在曲线y2=4（x+1）上而另一点在曲线y2=-12（x-3）上可求得：PQ=4sin2α（π3≤α≤2π3）

81+cosα（0≤α<π3）

81-cosα（2π3<α<π）

从而知当α=π3或α=2π3时，PQmax=163.

（2）根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准。

数学中的某些公式，定理，性质在不同条件下有不同的结论，在运用它们时，就要分类讨论，分类的依据是公式中的条件。

例如，对数函数y=logax的单调性是分01两种情况给出的，所以在解底数中含有字母的不等式；如logx13>-1就应以底数x>1和01时，13>1x， 当0

又如，等比数列前几项和公式是分别给出的：

Sn=na1（q=1）

a1（1-qn）1-q（q≠1）

所以在解这类问题时，如果q是可以变化的量，就要以q为标准进行分类讨论。

例2：设首项为1，公比为q（q>0）的等比数列的前n项和为Sn，又设Tn=SnSn+1，n=1，2，···

求Tn

解：当q=1时，Sn=n，Tn=nn+1 ， ∴limn→∞Tn=1

当q≠1时，Sn=1-qn1-qSn+1=1-qn+11-qTn=1-qn1-qn+1

于是当0

当q>1时，limn→∞1qn=0，∴limn→∞Tn=1q

综上所述，limn→∞Tn=1（0 1q（q>1）

三、分类讨论的方法和步骤

（1）确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围；

（2）确定分类标准科学合理分类；

（3）逐类进行讨论得出各类结果；

（4）归纳各类结论。

例3：若函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象经过点（0，1）和（π2，1）两点，且x∈[0，π2]时，|f（x）|≤2恒成立，试求a的取值范围。

解：由f（0）=a+b=1，f（π2）=a+c=1，求得b=c=1-a

f（x）=a+（1-a）（sinx+cosx）=a+2（1-a）sin（x+π4）

∵π4≤x+π4≤3π4，∴22≤sim（x+π4）≤1

①当a≤1时，1≤f（x）≤a+2（1-a）∵|f（x）|≤2∴只要a+2（1-a）≤2解得a≥-2∴-2≤a≤1；②当a>1时，a+2（1-a）≤f（x）≤1，∴只要a+2（1-a）≥-2，解得a≤4+32 ， ∴1

例4：已知函数f（x）=sim2x-asim2x2 （x∈R，a∈R）

试求以a表示f（x）的最大值b。

解：原函数化为f（x）=-（cosx-a4）2+（a-4）216

令t=cosx，则-1≤t≤1

记g（t）=-（t-a4）2+（a-4）216。t∈[-1，1]

因为二次函数g（t）的最大值的取得与二次函数y=g（t）的图象的顶点的横坐标相对于定义域[-1，1]的位置密切相关，所以以a4相对于区间[-1，1]的位置分三种情况讨论：

（1）当-1≤a4≤1，即-4≤a≤4时，b=g（t）max=（a-4）216， 此时t=a4 ；

（2）当a4<-1， 即a<-4时，b=-a ， 此时 t=-1

（3）当a4>1， 即a>4时，b=0， 此时， t=1

综上所述：b=0（a>4）

（a-4）216（-4≤a≤4）

-a（a<-4）

分类讨论的思想是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论，如果能结合利用数形结合的思想，函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论，从而达到迅速、准确的解题效果。

（作者单位：江西省进贤县第二中学 331700）