线性代数微课教学设计研究——以逆矩阵的定义教学为例

冯艳刚

（1.阜阳师范学院 商学院；2.区域物流规划与现代物流工程安徽省重点实验室，安徽 阜阳 236037）

1 引言

近年来，随着“全国高校数学微课程教学设计竞赛”活动的成功举办，“微课”这一概念越来越深入人心[1].作为信息技术与教学改革不断深化融合的一个重要产物，微课在一定程度上颠覆了传统的教学模式，给人耳目一新的感觉[2].因此，微课概念一经提出，就受到业界学者的普遍关注，并迅速在全国高校推广开来.接下来，我们首先分析微课的特点，然后以《线性代数》课程中逆矩阵的定义为例，研究微课的教学设计问题.

2 微课的特点

微课（Micro Lessons），也叫微课程，是相对于常规课程来说的一种微小课程[3]，用以讲授单一知识点或突破某个教学问题.微课通常由简短的微课视频及与之相配套的其它教学资源组成，它既是教师课堂上的授课素材，也是学生进行课前预习、课后复习的重要资料.作为一种现代化的教育形式，微课在推动移动学习和在线学习方面发挥着越来越重要的作用[4].同常规课程相比，微课具有以下特点：

2.1 微课具有“微”的特点

这里的“微”具有以下几层含义：（1）课程时间短.微课的讲解时间较短，通常以8—10分钟为宜，这同传统的40或45分钟为一节课的教学课例有着显著的区别；（2）讲授的知识点少.微课的主要目的是为了突出课堂教学中某个学科知识点的教学，通常只讲授一个知识点、一个重难点或易错点；（3）占用资源较少.从资源的容量上来说，“微课”视频及配套辅助材料所占流量一般在几十兆左右，学习者可以流畅地在线观摩课例，查看教案、课件等辅助材料；（4）教学语言简洁，内容精致.由于微课的时间比较短，因此在语言的组织上要力求简洁，在知识要点的设计上要精致巧妙，达到“多一分则过，少一分则缺”的效果.

2.2 微课也是课

微课虽然只是一个短小的视频，但它仍然具有教学环节的完整性，正所谓“麻雀虽小，五脏俱全”.就一个知识点而言，微课的设计仍然要包括教师课堂教学活动的全过程，要有导入、讲授和总结等环节[6].

针对微课的以上特点，教师在进行微课设计时应注意教学内容的选择和各教学环节的巧妙设计.以下我们以《线性代数》课程中逆矩阵的定义为例，研究微课的教学设计问题.

3 逆矩阵的定义微课教学设计

3.1 设计思路

线性代数知识虽然应用广泛，但是具有一定的抽象性，学生在学习的过程中常会产生“学习线性代数到底有什么用”的疑问.针对这一问题，我们的具体设计思路如下：首先让学生观看一段视频，引入矩阵理论在密码学中的应用，告诉学生线性代数知识在解决实际问题中所起的重要作用.设置悬念：加密的电文如何解密？其次将矩阵之间的乘法运算与数与数之间的乘法运算进行类比，引入本节课要介绍的逆矩阵的概念；再次提醒学生在理解逆矩阵概念时需要注意的一些地方；最后回答本节课一开始提出的电文解密问题.

3.2 教学过程

3.2.1 问题导入

先播放电视剧《永不消逝的电波》中解密电文的一个场景，视频播放完毕后教师讲解：刚才我们看到的这段视频是来自电视剧《永不消逝的电波》中解密电文的一个片段，在我们观看一些战争题材的影视剧时，经常可以看到这样的场景.发送电文时，为了保密起见，通常会对电文进行加密.当接收方接收到加密的电文后需要对其进行解密，才能了解电文的真正意思.那么电文的加密和解密工作是如何进行的呢？

教师继续讲解：在密码学中，有一种加密方法，将26个英文字母和26个阿拉伯数字一一对应.当要发送电文时，先要把电文转换成数字.比如要发送一份内容为“ABC”的电文时（我们称之为明文），先要把它转换成数字1、2、3，我们把它用矩阵X=(1,2,3)T来表示.然后对X进行加密，加密的方法是在X的左侧乘以矩阵A，这里的矩阵A称为加密矩阵.如果令A=，记 Y=AX=(6,5,4)T，Y就是加密了的电文.Y对应的字母为“FED”，当接收方接收到加密电文后，如何对其解密呢？

通过对如何破解加密电文问题的引入，可以吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣.此时教师可以和学生开玩笑说：“想成为密码大师吗？今天就让我们来学习如何利用逆矩阵破解加密电文.”

3.2.2 对逆矩阵定义的讲解

大家都知道，在数的乘法运算中，对于给定的数a，如果存在数b，使得ab=ba=1，则称b是a的倒数，将其记为b=或a-1，这里要求a≠0.在矩阵的乘法运算中，单位矩阵所起的作用与数与数之间的乘法运算中数字1所起的作用类似.对于给定的矩阵A，是否存在一个矩阵B，使得AB=BA=E？

如果存在，该如何来定义矩阵B呢？我们来看下面的定义：

定义 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为是A的逆矩阵，记作B=A-1.

针对学生在理解逆矩阵概念时可能存在的一些误区，设计如下问题：

问题1：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的吗？

分析：事实上，若B和C都是A的逆矩阵，则有AB=BA=E，AC=CA=E，根据矩阵乘法运算的结合律可得：B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C,所以A的逆矩阵是唯一的.

问题2：可逆矩阵及其逆矩阵一定是方阵吗？

分析：AB是以A的行数为行数B的列数为列数的矩阵，BA是以B的行数为行数A的列数为列数的矩阵，由AB=BA=E可知，A与B是同阶方阵.

问题3：若B是A的逆矩阵，那么A是B的逆矩阵吗？

分析：由逆矩阵的定义可以看出，若B是A的逆矩阵，则A也是B的逆矩阵，即A和B互为对方的逆矩阵.

问题4：零矩阵是可逆矩阵吗？单位矩阵呢？

分析：由于零矩阵与任意矩阵相乘（乘法能够进行）其结果都等于零矩阵，所以零矩阵不可逆.而单位矩阵与单位矩阵相乘，结果还是单位矩阵，所以单位矩阵的逆是它本身，即E-1=E.问题5：A-1能不能写成？

分析：A-1是我们对可逆矩阵A的逆矩阵的习惯记法，大家不要将其写成.

在讲授完逆矩阵的概念及理解这一概念应注意的一些问题后，再将话题转到一开始提出的如何破解加密电文的问题上.原来，电文在加密时所用的加密矩阵A是一个可逆矩阵，我们先求出A的逆矩阵，再用A-1同时左乘以Y=AX两端可得这样，就完成了电文的解密工作.所以，双方只需要事先约定好加密矩阵A，当接收方接收到加密电文时，利用A-1就可以对其进行解密.这样既回答了一开始提出的问题，又可以让学生体会到数学的魅力：数学源于实践，又应用于实践.

3.3 对微课内容进行总结

帮助学生梳理本节课所学的主要内容，再次强调理解逆矩阵概念时应注意的一些问题.告诉学生，可逆矩阵是矩阵理论中非常重要的一部分内容，除了可用于密码学中，在其它科学领域也有着广泛的应用，要求学生课后查阅资料，了解可逆矩阵在其它方面的一些应用.

4 结语

线性代数虽然是一门理论课程，但其应用范围十分广泛，许多教学内容都可以仿此进行微课设计，即先从实际应用问题出发引入新课，然后讲解新知识，最后运用新知识解决一开始提出的问题.这样的微课设计，能够让学生在掌握新知识的同时，提高应用数学知识解决实际问题的能力，并能在很大程度上激发学生的学习兴趣，有利于调动学生的学习积极性.

不可否认，在具体的教学过程中，针对不同的授课内容可以运用不同的授课方法[7]，但无论运用哪种授课方法，适当结合微课进行教学都非常必要，而为了使微课能够达到理想的教学效果，则需要认真地进行教学设计.一个教学设计合理巧妙、生动有趣的微课在《线性代数》课程教学中必将起到事半功倍的效果.