七字真言闯天下——三视图还原妙招

广东省广州市第六中学 曹永生

三视图还原成直观图，计算相应几何体的面积、体积是近年高考的必考题型。学生在三视图的还原问题上有一定难度，特别是一类网格型三视图的空间思维难度更大，学生往往花费较长时间，也耗费精力。为此本人结合教学实际，总结出了一点小技巧，希望能帮到大家。

一、首先要掌握简单几何体的三视图

正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球的三视图分别是什么要熟悉掌握。

二、掌握简单组合体的组合形式

简单组合体主要有拼接和挖去两种形式。

三、三视图之间的关系

几何体的长：正视图、俯视图的长。

几何体的宽：俯视图的高、侧视图的长。

几何体的高：正视图、侧视图的高。

（口诀：主俯定长，俯左定宽，主左定高）

四、清楚三视图各个线段所表示几何体位置

五、由三视图画出直观图的步骤和思考方法

1.组合类题型往往很简单，基本可以通过简单想象直接还原。

2.有两个视角为三角形，为椎体特征。选择底面还原（求体积可不用还原）。

3.凡是想不出来的，可用七字真言还原。（不到万不得已，不用此法）

【类型一】三线交汇得顶点，四顶相连无悬念。

例1 如图1，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图。则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）

图1

解：由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可以用一个正方体座位载体对三视图进行还原。先画出一个长、宽、高均为4的正方体，如图2：

图2

第一步：根据正视图，在长方体中画出正视图四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示。如图3,即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影而成的。

图3

第二步：根据侧视图，在正方体中画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示。如图4：

图4

第三步：俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示。如图5：

图5

最后一步，三种颜色公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为元及合同的顶点，连接各顶点即为原几何体，至此，易知哪条棱最长，求出即可。

这种方法的核心其实就是七个字：“三线交汇得顶点”。这种方法操作性强，降低了思维的难度，依次画出三组线即可，真可谓七字真言扫天下。

例2 某多面体的三视图如图6，则该多面体的棱中，最长的棱的长度是（ ）

图6

【类型二】三线交汇得顶点，各顶必在其中选，多顶可能用不完，个中取舍是关键。

例3 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为，则该几何体体积为（）

解：首先在正方体框架中描出主管图，并将轮廓线的边界点平行延长，如图：

将俯视图和侧视图也如法炮制，这样就可以找到三个方向的交叉点，连接这五个点的四棱锥，不满足俯视图，而顶点又必须在这五点中，所以当点数超过4个时，可能不需要全部连接，则这些点有所取舍。

第一取舍法：俯视图看到的面不可以为上面四个点构成的整个四边形，而是中间有一条折痕，故只能说左半边三角形向下折。即舍弃前面左上方的点。故得：

第二取舍法: 正视图看，已标记下面的点必不可少；从俯视图看，上面有3 个点必不可少；又不能全部连接，故只能舍弃前面左上方的点。

第三取舍法：口诀：实线两端的点保留，虚线两端的点待定。从俯视图一看，便知道答案了。

【类型三】八点起飞，直观图不唯一。

例4 画出以下三视图的直观图。

此题八点齐飞，通过类型二中的第三取舍法，我们很容易就能还原出来。

然而，我们发现这个三视图也可以看成是上图中的三棱锥与另外一个三棱锥组合而成。

如下图所示：以k为顶点的三棱锥（四种）与上图的组合。

由此得出，上题中的三视图至少有5 种不同的直观图。

我们在取舍的时候也可以看出，当顶点的三个方向都有其他点的时候，这个点多数时候就是可有可无的。

六、三视图题目几点技巧

1.部分椎体求体积，直接用公式（可以不还原）。

2.斜二测画法与原图面积比例为定值（可以不还原）。

3.三视图中，和视线垂直的线段，长度不变。

七、反思

对棱相等的四面体求体积，最简单的方法就是放回长方体中。