一类常见力学问题错解辨析

刘翠红　王建永　文文

摘 要：计算旋转面或旋转体的质心是力学中的一类常见问题，解决这一类问题经常出现微分量表达式写错的情况。本文分析了这一问题产生的原因，并给出了解决这一问题的比较简便的夹逼准则方法。通过用夹逼准则方法分析旋转面或旋转体的质心计算问题，发现计算旋转面的质心时，应把微元看成圆台，而计算旋转体的质心时，应把微元看成圆柱。

关键词：质心 微元法 夹逼准则

中图分类号：O313.3 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）09（c）-0165-02

计算质量连续分布的物体的质心是力学中的一类常见问题。解决这一类问题的基本方法是微积分中的微元法，即把物体剖分成无数微元，先对微元做定量分析，然后再把分析结果对整个物体积分[1-3]。然而我们在教学实践中发现，部分学生在使用微元法的时候不能正确地写出微分量的表达式，导致了计算得到的物体的质心是错误的，而且这一类错误比较隐蔽，不容易通过检查进行排除，所以很有必要指出并纠正这一类错误。

1 错误分析

下面我们以两道计算物体质心的题目为例，来说明这一类问题的常见错误做法及其产生错误的原因。

例1：如图1所示，半球面质量均匀分布，半径为R，求其质心。

解法1：由半球面质量分布的对称性，可知半球面的质心一定在z轴上，因此只要计算质心的z坐标即可。

如图1所示，取夹在均平行于半球面底面且距离为dz的两平面之间的半球面部分为微元，把这一微元看成圆柱的侧面，圆柱的侧面展开后为一长方形，其长为，高为dz，面积。质心的z坐标：

其中σ为半球面的质量面密度。

解法2：微元取法和解法1相同，把微元看成圆台的侧面，圆台的侧面展开后为一长方形，其长为，高为ds，面积。质心的z坐标：

显然两种解法的计算结果不同，那么哪种解法错了呢？

经过分析，发现两种解法的主要区别在于对微元的处理，解法1把微元看成圆柱的侧面，得到的微元面积的表达式为，而解法2把微元看成圆台的侧面，得到的微元面积的表达式为。这最终导致了两种解法计算结果的不同。

根据微积分理论[4]，只有式子成立时，才可以作为dU的表达式，即才有。这里是量U在某小区间上的增量，是一连续函数，是的高階无穷小，dU是量U在该小区间上的微分。

但是用公式来检验某一表达式是否某量的微分通常是比较麻烦的。实际上，用微积分中求极限的夹逼准则来寻求一个量的微分是比较简便的。下面我们结合例1，来说明这种方法。

如图2所示，函数在区间[a，b]上连续，其图象绕轴旋转一周后形成一旋转体。为求旋转体的侧面面积，用垂直于轴的平面把旋转体剖分成无数微元。为求图中所示微元（为清楚起见，把该微元放大了）的侧面面积，设想把该微元的侧面剪开并平铺在一平面上，将得到如图3所示的实线图形ABCD，其中弧AB的长度为，弧CD的长度为，。由图3易知，实线图形ABCD的面积介于图形ABEF的面积和图形HGCD的面积之间，即有

由于在微元取法确定的情况下，微分量的表达式是唯一的，所以式（1）就是这里的微分量的表达式。

回到例1的两种解法，根据式（1），可知解法1是错误的，解法2是正确的，即计算所取微元侧面面积时，应把所取微元看成圆台，而不是圆柱。

例2：如图1所示，半球体质量均匀分布，半径为R，求其质心。

解法1：由半球体质量分布的对称性，可知半球体的质心一定在z轴上，因此只要计算质心的z坐标即可。

如图1所示，取夹在均平行于半球体底面且距离为dz的两平面之间的半球体部分为微元，把这一微元看成圆柱，其底面积为，高为dz，体积。质心的z坐标：

显然两种解法的计算结果不同，那么哪种解法错了呢？

经过分析，发现两种解法的主要区别在于对微元的处理，解法1把微元看成圆柱，得到的微元体积的表达式为 ，而解法2把微元看成圆台，得到的微元体积的表达式为。这最终导致了两种解法计算结果的不同。

下面我们依然用夹逼准则来分析两种解法的对错。

如图2所示，函数在区间[a，d]上连续，其图象绕轴旋转一周后形成一旋转体。为求旋转体的体积，用垂直于轴的平面把旋转体剖分成无数微元。由图4易知，微元的体积介于半径分别为和的两圆柱的体积之间，即有：

2 结语

微元法是分析物理及工程技术问题的重要方法。在使用微元法时，写出微分量的正确的表达式是解决问题的关键。检验微分量的某一表达式是否正确的基本方法是看其是否满足式（1），或者用更简便的求极限的夹逼准则。本文结合质量连续分布的物体的质心计算问题说明了用夹逼准则检验微分量的某一表达式是否正确的方法，这一方法对人们用微元法解决实际问题具有重要的借鉴意义。

另外，旋转体是一类比较常见的物体，本文的研究表明，计算其微元侧面面积时，应把微元看成圆台，而计算其微元体积时，应把微元看成圆柱。这是在涉及旋转体物体时要特别注意的问题。

参考文献

[1] 肖学雷.一类异形匀质平板质心的简明计算方法[J].大学物理，200，25（12）：26-28.

[2] 吴红燕，侯越.质心概念的应用问题研究[J].安阳师范学院学报，2009（5）：64-66.

[3] 王明美.平面组合图形质心的计算[J].合肥师范学院学报，2011，29（3）：35-36.

[4] 同济大学应用数学系.高等数学[M].5版.北京：高等教育出版社，2002：267-269.