二维非齐次不可压缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组的渐近分析

苏云飞,姚磊

(西北大学数学学院,陕西 西安 710127)

1 引言

本文研究了二维空间中非齐次不可压缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组的渐近分析,这类方程组应用在各种工业问题中,如沉降问题,废水处理,化学工艺[1-3]等方面.一方面,从微观的角度考虑,粒子的运动是由依赖于时间t∈[0,T],空间位置x∈T2,粒子的速度v∈R2的分布函数f(x,v,t)描述的,满足Vlasov-Fokker-Planck方程：

其中Fd=F0(u(x,t)−v),不失一般性令F0=1.

另一方面,流体是通过宏观量描述,其中ρ(x,t)≥0是密度,u(x,t)∈R2是速度场,这些量满足非齐次不可压缩Navier-Stokes方程

其中

且假设压力p=Aργ,不失一般性令A=1.

关于流体-粒子模型解的适定性问题已被广泛研究,许多学者研究了流体-粒子模型解的全局存在性结果.文献[4]讨论了在有界区域中,Vlasov-Stokes方程组弱解的全局存在性和大时间行为.其次,文献[5]证明了在三维周期区域中,不可压缩Navier-Stokes-Vlasov方程组弱解的整体性.文献[6]讨论了不可压缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组在二维空间和三维空间中弱解的全局存在性以及二维空间中光滑解的全局存在性和唯一性.接下来,文献[7-8]分别研究了三维有界区域中非齐次不可压缩Navier-Stokes-Vlasov方程组和不可压缩Navier-Stokes-Vlasov方程组弱解的全局存在性.在可压缩的情况下,文献[9]讨论了在三维有界区域中可压缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组弱解的全局存在性.还有一些其它相关模型的解的存在性结果,读者可以参看文献[10-11].

本文主要研究下列方程组的渐近性(ε→0),

初始条件为:

其中x∈T2表示空间变量,t∈[0,T]表示时间变量,v∈R2表示粒子的速度,pε表示压力,且

为了克服边界条件的影响,这里讨论二维周期区域T2.

近年来,有许多关于流体 -粒子模型的流体动力学极限的结果.对于一维的情形,文献[12]讨论了Vlasov方程与粘性Burgers方程耦合的方程组的动力学极限和分层极限.在多维情况下,文献[13]证明了在三维有界区域中可压缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组的流体动力学极限结果.文献[14-15]分别研究了在轻粒子和好粒子两种情形下,不可缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组的两种流体动力学极限.文献[16]基于相对熵和弱紧性方法研究了Vlasov型方程的流体动力学极限.关于其它相关模型的渐近分析研究,读者可以参看文献[17-18].

这篇论文主要是讨论问题(3)-问题(4)的渐近极限,其极限解(n,ρ,u)满足下列方程:

这篇文章的结构安排如下:第二部分做能量估计并陈述文章的主要结果;第三部分得到一些与ε无关的一致估计,并取极限,完成定理的证明.

2 主要结果

2.1 能量估计

首先,(3)1两边同时乘以再关于x和v求积分,得

其次,(3)3两边同时乘以uε,再关于x求积分,得

最后,结合上面两个等式有:

其中,令

因此,将上式关于t积分可得

注 1.1关于二维空间非齐次不可压缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组弱解的全局存在性,结合文献[4,19]可以得到.

2.2 主要结果

定理 2.1设初值满足:

ρε0在L1(T2) 中收敛到ρ0.

那么,存在子列 (仍记为本身)使得下列收敛性成立:nε在中收敛到n,ρε在C([0,T];Lp(T2))中强收敛到在中强收敛到

uε在Lθ(0,T;Lr(T2))中强收敛到u,其中 1≤θ＜2.这里 (n,ρ,u)满足其中

注 2.1定理2.1将文献[14]的结果推广到非齐次不可压缩的情形.

3 定理2.1的证明

3.1 一致估计

命题 3.1在定理 2.1的假设前提下,设(fε,ρε,uε)是问题 (3)-问题 (4)的一个弱解,则下列估计成立:

(i)uε在L2(0,T;H1(T2))中有界;

(ii)fε(1+v2+|ln(fε)|)在L∞(0,T;L1(T2×R2))中有界;

证明首先,从能量估计(6)式可以得到(i)和(ii)中的第二项估计成立;其次,通过质量守恒

得到fε在L∞(0,T;L1(T2×R2))中有界.

接下来,证明(ii)中的第三项估计成立.

引入

令ω≥0,那么

取s=fε,ω=v2/8,则有

将此式与(6)式结合,可得

从而可以得出(ii)中的第三项成立.综上,命题3.1得证.

其次,我们要对与微观量fε相关的量做估计.

命题 3.2在定理 2.1的假设前提下,设 (fε,ρε,uε)是问题 (3)-问题 (4)的一个弱解,则下列估计成立:

(i)nε(1+|ln(nε)|)在L∞(0,T;L1(T2))中有界;

(ii)Jε−nεuε在L2(0,T;L1(T2))中有界.

证明首先,从命题3.1中的质量守恒可得到nε在L∞(0,T;L1(T2))中有界.

其次,因为h(s)=sln(s)是凸函数,所以由Jensen不等式得

那么有

则有

所以nε(1+|ln(nε)|)在L∞(0,T;L1(T2))中有界.

对于 (ii),有

则

所以Jε−nεuε在L2(0,T;L1(T2))中有界.

为了证相关结论,需要用到二维空间的一个引理.

引理 3.1[14]设Ω是R2中的有界区域,Φ∈L2(0,T;H10(Ω)).设n≥0满足

那么存在仅依赖于Ω的常数C,使得下列不等式成立

命题 3.3在定理 2.1的假设前提下,设(fε,ρε,uε)是问题 (3)-问题 (4)的一个弱解,则下列估计成立:

(ii)对任意的 0＜T＜∞,BR⊂T2,nεuε在L2(0,T;L1(BR))中有界.

证明利用引理3.1,对令则

因此nεuε在L2(0,T;L1(BR))中有界.

最后,由于

所以Jε在L2(0,T;L1(BR))有界.

为取ε→0的极限,还需要用到如下结论.

引理 3.2[19]设X是可分,自反的Banach空间,Y是Banach空间使得X嵌入到Y,Y′是可分的,且在X′中稠密.假设gn满足:对于1＜p≤∞时,

那么gn在C0([0,T];Xweak)中是相对紧的.

3.2 取极限

步骤 1极限方程的推导.

由上述估计,那么存在子列（记为本身）使得

(i)在L1((0,T)×T2)中,nε⇀n;

(ii)在D′((0,T)×T2)的意义下,Jε⇀J;

(iii)在L2(0,T;H1(T2))中,uε⇀u;

(iv)在L2((0,T)×T2)中,∇xuε⇀ ∇xu;

(v)在D′((0,T)×T2)的意义下,

对于动力学方程,首先,(3)1关于v求积分得

当ε→0时,在分布的意义下,

成立.由于nε在L∞(0,T;L1(T2))中有界,Jε在L2(0,T;L1(T2))中有界,利用(7)式可得∂tnε在L2(0,T;W−1,1(T2))中有界,因此利用引理3.2的结论可得在中nε收敛到n.

给(3)1式两边同时乘以v,再关于v求积分,并利用分部积分得

从而有

且

对(9)式的右边第一项关于x,t求积分,结合Cauchy-Schwarz不等式,在关于ε一致有界的前提下,可以得出被O(ε)控制.右边第二项在分布的意义下趋于0,即对任意的有

且第三项是nεI,从而在分布的意义下:

于是当ε→0时,有

对于流体方程,由上述得到在分布的意义下,∇xn是nεuε−Jε的极限(ε→0),如果进一步可得到ρε,uε的强收敛,则有

于是得到下列极限问题满足的方程组:

步骤 2证明ρε,uε的强收敛性.

首先,方程(3)2关于x求积分得

则

从而ρε在C([0,T];L1(BR))(∀R∈(0,∞))中有界,且由能量不等式可得uε在L2(0,T;H1(T2))中有界.

接着,引入特征线X(s;x,t),满足

则

从而

所以由假设

(a)0＜C1≤ ρε0≤C2,有C1≤ ρε≤C2;

(b)另外,在 T2×(0,T)上,几乎处处成立,

(c)在分布的意义下,

成立;

(d)在L1(T2)中,在L2(0,T;H1(T2))中,

由 (a),ρε0在Lp(T2))(1≤ p＜ ∞)中收敛到ρ0,且由 (b)可得,在 T2×(0,T)上,divxuε=0几乎处处成立.

其次,由能量不等式可得ρε|uε|2在L∞(0,T;L1(T2))中有界,由 (a)可得ρε是一致有界的,则

那么ρεuε⊗uε在中有界,这表明在中有界.

另外,△xuε在L2(0,T;H−1(T2))中有界.利用命题 3.2有Jε−nεuε在

中有界.

因此,∂t(ρεuε) 在中有界.进一步,对任意的且 divφ=0,有

应用文献[20]中的定理2.4得到下列收敛:

(i)ρε(或)在C([0,T];Lp(T2))(1≤p＜ ∞)中强收敛到

(iii)uε在Lθ(0,T;Lr(T2))中强收敛到u,其中1≤θ＜2,1≤r＜∞,ρ≥C1.

步骤3 证明其中

在分布的意义下,nεuε弱收敛到那么只需证明下面的引理,再利用极限的唯一性,则可以说明

引理 3.3在分布的意义下,nεuε收敛到nu,即v=nu.

证明首先,由命题3.2可得nε|ln(nε)|在L∞(0,∞;L1(T2))中有界.对有

由于nε在L1((0,T)×T2)中弱收敛到n,所以有

同理,利用uε在Lθ(0,T;Lr(T2))中强收敛到u,可得

其中θ′和r′分别为θ和r的共轭指标.

若能够进一步证明

和

成立,则完成证明.首先,

其次,

然而,当M →0时,meas({|uφ|＞M})→0.所以由 Dunford-Pettis定理,nε和n的等度可积性,可得

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