微积分教学的初步探索

许晓雪

郑州大学数学与统计学院 河南郑州 450001

【关键字】微积分的本质；微积分教学

数学是一门基础性学科，它具有丰富的内容和深刻的思想。随着科学技术的发展，数学已被广泛应用于信息、经济、管理、医学和生命科学等各个领域。微积分是高等数学的重要组成部分，目前已成为高等院校各个专业的必修课或选修课，在培养大学生的逻辑思维和思辨能力等方面扮演者重要角色。它是进入科学研究的大门，通常安排在大学一年级，为后续课程的学习做好准备。因此，微积分的教与学显得尤为重要。

由于微积分本身的特点---高度的抽象性。很多学生觉得它枯燥无味，学习积极性不高，而且畏难情绪很大，使得课堂教学达不到预期的目标。那么，到底怎样才能学好微积分呢？首先，要搞清楚微积分的实质。只有知道它是什么，研究什么问题，才能进行针对性的学习。其次，老师的教学方法很重要。好的教学手段能把冷冰冰的数学符号变得活灵活现，把数学的魅力展现给学生，进而提高课堂学习效率。最后也是非常关键的一步，学生必须投入足够多的时间去学习，并不断地总结，找到适合自己的学习方法。本文将围绕这些问题进行展开。

一、微积分的本质

一直以来，微积分给人的印象就是不停地做习题，不停地计算，感觉很疲惫。其实在题目的海洋中隐藏着实质性的内容，一旦抓住了它，就会事半功倍。微积分的本质是“以直代曲”。“直”用数学的语言来说就是“线性”，物理上称之为“均匀”；“曲”用数学的语言来说就是“非线性”，物理上称之为“非均匀”。因此，“以直代曲”就是用线性研究非线性，用均匀来探究非均匀。线性的对象相对容易，因此由简单的内容探讨复杂的非线性确实是一个不错的选择。从计算层面上讲，微积分实质上是以“导数”为出发点，寻求相应函数的局部性态。

微积分，顾名思义包括微分和积分。一元函数的微分等于导数与自变量改变量的乘积。我们知道导数的几何意义是切线的斜率，求出函数在一点处的导数，运用点斜式就可得到过改点的切线方程。那么在研究函数的微分时，实际上是在做这样一件事：用切线来近似代替函数图像（一般为曲线），进而获得函数在指定点附近的信息。这一点在微分中值定理中表现的淋漓尽致。比如拉格朗日中值定理，它就是借助函数在区间内某一点的导数值乘以区间长度来计算区间端点处函数值的增量，已被广泛应用于近似计算中。此外，还可以用导数来研究函数的单调性、极值和最值、凹凸性、曲率等。综合已得到的信息，最后甚至可以大致描绘出函数的图形，至此已经把函数刻画的很清楚了。对于积分，在某种意义上它可看成微分的逆运算。因此，见到函数就计算它的微分和积分，必有斩获。

二、微积分的教学技巧

教学方法有很多种，就微积分而言，不仅要讲清楚基本理论、基本思路和基本方法，还要教会学生如何运用所学的知识来解决问题。在这个知识大爆炸的时代，为了适应人类文明的进步，微积分教学的形式和内容都发生了许多变化。对教学方法来说，这既是机遇也是挑战。在我看来，以下几个技巧顺应了时代的需求。

1、案例式教学法

微积分教材的结构是有规律可循的，每一节的内容都是从定义出发，引出相应的定理，最后以例题结尾。如果只看书自学的话，即使能看懂，也总是感觉抓不住。这就需要老师具有一定的驾驭能力，能够把知识讲活。首先，在引入新的概念之前，最好讲一些相关的背景知识，让学生清楚为何要研究这个问题，这样他们容易接受新内容。我们可以从数学史上摘一些经典的例子，也可与实际生活相联系来说明概念的意义和用途。其实课本上的例题就是很好的案例，但不能单一地只讲例子，而要告诉同学们它考察了那些知识点，以及所学的新定义是如何被运用的。案例教学法能有效地培养学生分析问题和解决问题的能力。

2、启发式教学法

课堂上，老师要不断地引导学生，鼓励他们发表自己的见解，通过师生的讨论，找到解决问题的办法。这就打破了传统的满堂灌的教学模式。比如在进行例题的讲解时，可以先询问同学们是怎么想的，甚至可以提供机会让学生走上讲台写出自己的思路，然后就按学生的想法去做，如果成功了，他们就会产生强烈地成就感，从而产生学习微积分的兴趣；若失败，师生可共同找出原因加以纠正。这种教学法能让学生在课堂上亲身经历做题过程，刺激他们独立思考，增强学生积极参与课堂的意识，活跃课堂气氛。同时师生间的互动和交流，能促使教师及时更新知识，提高教学技能。教学相长，相得益彰。

三、微积分的学习技巧

正确的学习方法很关键。就微积分而言，首先要做到课前预习，这样听课时才有针对性。课堂上，由于多媒体辅助教学，学生没要必要用笔不停做笔记，而是要重点听老师的思路。毕竟数学是理科，需要理解性记忆。最后，上课时听懂了并不等于你学会了，课后必须做一定量的练习。学数学很像学打球，教练只能告诉你技巧，要想打好，每天坚持训练是必不可少的。因为现在网络太方便，很多学生在做题时能从网上找到答案，于是就先看答案再做题，这在无形中剥夺了自己独立思考问题的能力，对答案产生强烈地依赖性，到考试时还是没有思路。这是目前大多数学生的坏习惯。因此，一定要严格要求自己，实在想不出来了再看答案或者问老师。只有这样才能发现自己在微积分上的薄弱之处，以便有针对性的复习。实践证明，这种学习方法对培养学生终身学习的能力很有效。

微积分教学的探索是一个长期的过程，需要各位教师在教学一线大胆尝试，勇于创新。坚信微积分教学将更加具有科学性、合理性。