对立事件在概率计算问题中的应用

◎付冰洁 王赐昌

(河南省新乡市封丘县振兴路416号封丘县第一中学，河南 新乡 453300)

一、在古典概型中的应用

古典概型的定义是由法国数学家拉普拉斯提出的.如果一个随机试验所包含的基本事件是有限的，且每个基本事件发生的可能性均相等，则这种条件下的概率模型就叫古典概型.为求解古典概型中的问题，需要从排列组合等知识点出发，考虑一切可能出现的结果，不能遗漏也不能重复.

例1从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的概率是多少？

方法一是正向思维，从正面一步一步地直接计算，如果情况多的话很可能会漏掉某种情况.而方法二是变换角度，从事件的对立事件出发，简单易行，计算方便.所以在计算事件的概率时应先想一想：计算对立事件的概率是否更方便些？然后再选择一个容易的去做，不仅能提高正确率，还可以节约计算时间.

例2假定人在一年365天中的任一日出生的概率是一样的，试求参加某次聚会的n个人中至少两人有相同生日的概率是多少？

二、在离散型随机变量中的应用

例3某产品40件，其中有次品3件，现从中任取3件，求其中至少有一件次品的概率.

P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

≈0.208 5.

如果利用对立事件，易得：

P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)

可以看出，从问题直接出发进行计算比较复杂，而通过对立事件计算则简便的多.

三、在几何概型中的应用

在几何概型的模型下，随机实验所有可能的结果是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的，它与古典概型的区别在于其试验的结果是无限个，是将等可能事件从有限维推广到了无穷维.

例4甲乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时间是等可能的，如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊时间为2小时，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.

解析本题需要根据问题中涉及的两个变量的关系，画出几何图形，然后利用几何方法解决概率问题.

四、总 结

通过上面四个例子的分析不难发现，在概率的一些计算问题中，如果按照正向思维直接计算，计算会比较复杂，计算量也大.然而如果利用逆向思维，从事件的对立事件出发求解，则往往可以大幅降低计算量，从而起到事半功倍的效果.因此，在概率论的计算问题中，我们应充分运用概率的性质，打破思维定式，有意识地进行逆向思维的训练，不仅可以加深对问题的理解和认识，而且还能开拓解决实际问题的途径，提高数学思维能力和解决分析问题的能力.