山重水复疑无路，柳暗花明又一村——浅析构造法的妙

◎沈 宇

(杭州市余杭区乔司中学，浙江 杭州 311100)

在数学的教学和解题中，有些问题不能通过常规的方法解决，需要结合已有的条件构造出新的模型，从而使问题得以解决，这种方法叫作构造法.

中国古典数学院士吴文俊指出“由于计算机技术的发展，构造性的数学在不久的将来有很大的发展，甚至逐渐成为主流的数学”.在教学过程中嵌入构造法的教学能激发学生的创造性思维和发散性思维，还能提高学生的建模意识和数学思维能力，培养学生的数学素养.构造性思维首先是审题从中找到数学问题的条件和结论，重新建立数学模型，从而抓住问题的突破点，各个击破.下面就几个例子阐述构造法在初中数学中的应用.

一、例题分析

(一)构造方程

例1(杭州市2017年中考数学题)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.

(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.

① 求y关于x的函数表达式；

② 当y≥3时，求x的取值范围；

(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么?

解析对于本题的第(1)问，直接根据已知条件中的等量关系列出方程，再根据函数图像及其性质解决问题，相对来说比较简单；对于第(2)问，根据已知条件我们知道这里所有矩形面积都是3，那这些矩形的周长能否为6和10，这里我们可以根据已知条件构造出方程，再根据根的判别式判断这样周长的矩形是否存在.

思考：上述构造方程相关的试题，是从已知条件出发，我们能够很快速地构造出一元二次方程，再根据具体问题具体分析，构造紧扣熟悉化、相似性原则.

(二)构造函数

例2关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1(a≠0,a,m,b均为常数)，则方程a(x+m+2)2+b=0的解是________.

解析根据方程的表达形式，可以向函数表达式的顶点式转化，根据顶点坐标及方程的两个根即函数与x轴的两个交点构造出函数图像经过(-m,b),(-2,0),(1,0)这三点，再看要求的解，构造函数图像它也是顶点式经过(-m-2,b),由于它和我们条件中构造的函数图像开口方向一致，顶点坐标向左平移了2，所以这个函数图像与x轴的两个交点坐标也向左平移了2，即此函数图像与x轴的两个交点分别(-4,0),(-1,0)，所以方程的解为x1=-4,x2=-1.

思考：方程与函数模型是中学中常用到的一种思想方法，通过直观地构造出函数，再根据函数图像的性质及已知条件能够快速解决问题.

(三)构造图形

例3如图1所示，六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则六边形的周长等于________.

图1

图2

解析对于已知图1中给出的六边形，由于六个内角都相等，根据多边形内角和公式我们可以求出每个角都是120°.已知只知道AB、BC、CD、DE四条边的长度，要求这个六边形的周长，还需要知道EF、AF的长度.由于这个六边形并不是一个规则的六边形，只知道它的每个角是120°，要求出另外两边的长度，我们只能从它的角度着手，看能否构造出特殊的图形.如图2所示，我们构造出了一个平行四边形MCNF及两个正三角形△AMB和△EDN，根据平行四边形的性质和正三角形的性质，这个六边形的周长迎刃而解.

思考：三角形作为初中数学的基本图形经常出现在我们的解题教学中,它们的构造都是建立在学生已有的基础知识之上，略有提升，让学生学会灵活运用所学的知识，获得数学学习的成就感.

二、教学启示

构造法是一种具有很强的技巧性的解题方法，具有很强的灵活性和非常规性，但它是基于学生已有的知识基础之上的，在运用构造性思维解题时要遵循三大基本原则：熟悉化、相似性、直观性.新课程标准指出，数学课程不仅要注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想，还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识，多在教学实践中引入构造法的应用，可以起到很好的效果.

在教学中，应当鼓励学生通过观察、猜测、计算、推理、验证等活动过程有意识地培养学生的构造思维，养成独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成严谨求实的科学态度.构造法具有很强的技巧性和灵活性，其适用面也不是很广，在教师主导学生主体的构造教学中，教师要把握好教学的度，不能只为了构造而提高解题的难度，增加学生数学学习的负担，应从学生的具体情况出发，结合学生已有的知识基础帮助学生学会构造法建立熟悉的模型，从而解决问题.