费马大定理和卡塔兰猜想

费马大定理和卡塔兰猜想

段贵军

（吉林省白石山林业局黄松甸林场监督站，吉林 蛟河 132503）

摘 要：根据数学公式xn-yn建立数列群，然后根據变差数列xn-yn中的因子分布与幂变化规律理论来求解费马大定理和卡塔兰猜想。

关键词：费马大定理 卡塔兰猜想 数列群 变差数列 等差数列 公差数列 xn数和xn-yn数分布与幂变化规律

中图分类号：O156.1 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2018）01-0-02

背景：①费马大定理：当n≥3时， xn+yn=zn中x、y、z必有一个是非整数解。费马大定理是法国数学家费马于1637年提出。②除32-23=1外，再没有两个连续整数可表示为其它正整数的方幂，此为卡塔兰猜想（1842年）。

一、简介xn±yn分解因式数学公式

1、xn-yn的分解因式通用公式：xn-yn=（x-y）（xn-1+ xn-2y +xn-3y2+……+xyn-2 +yn-1），n为整数。举例如下：

根据以上数列群数表，可以归纳如下：

①当n=1时，数列群有3层。即自然数数列、X1数数列和公差数列，最小公差为1。当x=y+1时，x1数数列和自然数数列完全相同，公差数列为1、2、3……所以，当x和y是整数时，z必然是整数。②当n=2时，数列群有4层。即自然数数列、x2数数列、x2-y2等差数列和公差数列。当x=y+1时，x2-y2数列是自然数奇数集合，所有奇数的平方数皆在里面，最小公差是1×2=2，所以，即x2-y2=z2成立。③当n=3时，数列有5层。即自然数数列、x3数数列、x3-y3数形成的变差数列、等差数列和公差数列，最小公差是1×2×3=6。x=y+2时公差是6×2=12；x=y+3时公差是6×3=18……④当n=4时，数列群有6层。和n=3时一样，只是多了一个变差数列，最小公差是1×2×3×4=24。X =y+2时公差是48=24×2……⑤当n=5时，数列群有7层。和n=3时一样，有3个变差数列，最小公差是1×2×3×4×5=120。x=y+2时公差是240=120×2……

…………

数列群数表组成与结构：最上面是自然数x数列和自然数的xn数列，这两个数列都只有一个；往下是xn-yn数学关系形成的变差数列（n≥3），其层数为f=n-2，个数有无限个，即由x=y+t（t为1、2、3…）所决定，最后两层是等差数列和公差数列，也都有无限个。数列群总层数有n+2层。最小公差是（1×2×3×4×5×……n）×1，x=y+2公差是（1×2×3×4×5×……n）×2……另外x、y、z要么是全是偶数，要么二奇一偶计两种形式。公差数列和等差数列都可以形成zn数。

关于数列概念简介：

数列群组：由有限个或者无限个数列群构成。

数列群：由多个或者无限个具有相同数学关系的数列个体构成。xn数列：x为自然数，n为幂形成的数列。

变差数列：xn-yn=k（n≥3）形成的k值自小到大排列的集合，并且各相邻项差不相等，但具有内在的数学规律性。因为是递增的，所以也叫递增变差数列。它有着自己的一些独特性质。

等差数列：公差相等的数列。

公差数列：由相同公差组成的数列，如表3中的6 6 6…

三、变差数列中的因子分布和幂变化与费马大定理

根据公式可知，x-y=t是公共因子，且x-y=t是x-y=1的t倍，所以，当x-y=1时的变差数列是t≥2时变差数列的基础，所以，本文以x=y+1时的变差数列为研究对象。

xn-yn=k数变化趋势：当n=1时，x1-y1=k数列直接为公差数列，当n=2时，x2-y2=k数列直接为等差数列，当n为1和2时数列均以匀速增大变化。当n≥3时，xn-yn=k数列为递增变差数列，其k值数列会快速膨大，当n→∞时，这种变化趋势越明显。

xn-yn=k数因子组成：k=AB。A是公共因子，如x-y=3，此因子自始至终恒定不变。B是数列在增大变化过程中产生的变化因子，是变差数列形成膨大变化的原因。A可以是任意自然数，含所有zn数。

因子的周期循环公式：对于任意xn-yn，当x变化到x+p时（p为整数）的变化量用（x+p）n-（y+p）n=（xn-yn）+fpgh来表示（f为常数，g为函数，h为公共因子x-y）。当p=（xn-yn）r时（r是整数），（x+p）n-（y+p）n=（xn-yn）（1+frgh）， xn-yn代表循环周期。如x3-y3=k其计算公式是：设x=y+1，当x变化到x+p时，则列式（x+p）3-（y+p）3= （x3-y3）+3p（x+y+p）×1，当（x3-y3）×q=3p（x+y+p）时 （q为整数），即q=3p（x+y+p）÷（x3-y3），一方面p÷（x3-y3）=1时为一个完整因子分布周期，另一方面（x+y+p）÷（x3-y3）也可以整除，并且其中的p小于x3-y3时为周期内分布。如当x=2和y=1时，p÷（x3-y3）=1时，p=7；而（x+y+p）÷（x3-y3）=（3+p）÷7=1时，p=4，因为4<7，所以，因子7每经过7项重复出现两次，即第4项和第7项，并且无限周期循环分布下去。如表3中的7，产生后，每向右7项就出现两次，91=7×13和217=7×31，以后无限循环下去。91也和7一样，产生后，每向右91项就出现两次，以后无限循环下去。91中的因子13也是一样，产生后，每向右13项就出现两次等等。n与周期分布次数：当n=2时，每周期分布1次；当n=3时，每周期分布2次；当n=4时，每周期分布3次……每周期分布次数为n-1次（根据公式计算得知，有些因子没有内循环分布，是由素数的节奏特性决定的，如x4-y4中的3每周期只分布1次，这些不影响推断）。根据公式可知，变化因子与公共因子永远不可能相等（只有三数现象中公共因子与变化因子才存在直接联系，这个问题在后面讲），只能各自独立存在。另外，所有因子值≥该因子值最初出现时的项数。

因子幂变化：因子幂也和自然数一样，在因子周期循环过程中幂缓慢增加，每次只能增加1，区间跨度越来越大，增加过程越来越缓慢。当（x+p）n-（y+p）n=（xn-yn）（1+frgh）代表因子周期循环，其中公共因子独立存在幂不变化。当（x+p）n-（y+p）n=（xn-yn）（1+frgh）=（xn-yn）mt时（t和m都是整数），t=（xn-yn）（1+frgh）÷（xn-yn）m=（1+frgh）÷（xn-yn）m-1，若t是整数（m≥2），此式则代表因子在周期循环过程中幂的增加过程。根据公式可知，因子幂的增加都是有规律的，在自然数数列上就能反映出来，并且和xn-yn自身有着直接关系，具体举例说明。如23-13=71，当72产生时是在233-223=1519=72×31，由2到23，跨度21=7×3，当7，3产生时是在1213-1203=43561=73×127，由23到121，跨度98=72×2……因子增大变化越来越落后于数列膨大的变化。最初产生的因子幂是1，特殊情况时可以是2，如x2+y2形成的z2数。根据以上分析，可以确定，数列越向右变化，经过循环次数越多，则xn-yn=k数的因子越来越多，由于项数不断增多，新产生的奇质数因子越来越大，循环次数越多且值小的的因子的幂增加相比要快些。用式子表示为xn-yn=k=A×B，B→abc……如此可以证明，xn-yn=k向右不可能形成k=zn数，同理，向左也不可能形成zn数，是因为这种数都是从左向右形成的。即整个变差数列中不能形成（xn-yn）1、（xn-yn）2、（xn-yn）3 ……（xn-yn）n系列数。表明任何情况xn-yn数列中不可能存在zn数（n≥3），这是由因子分布与幂变化规律所决定的。之所以会这样，根据因子分布公式原理可以看出，当n≥3时，xn数与xn-yn数的步调节奏永远不可能同步。这都是由于所有素数因子的节奏步伐各不相同所致。当x-y一定，随着x→∞，xn-yn=k数→∞，不存在有恒定整数z的z n数与k相等，尤其是因子幂缓慢增加情况下。也就是任何因子自产生之后向右周期循环出现，而其自身增加量越来越小于新生变化因子增大变化量，由此将永远不间断产生新的更大的因子，即使是因子每循环一周幂增加1也不能满足这种增大变化。如果在不同项上有两个因子k1、k2，以其最初交汇值k1×k2整体为始点，向右周期循环变化，过程都是一样的，当因子个数有n个也是如此，只是周期值大，不管因子值有多大，只要是向右，其增大变化都会越来越小于新生变化因子的增大变化，也就不能形成（k1×k2 ×k3×……kn）n系列数。

假设在xn-yn=k中有一个zn数存在，必将有z 、z2 、z4 ……zn系列数存在。又因xn- zn= yn，则也必有y 、z2 、z3 ……yn和x 、x2 、x3 ……xn系列数存在。如有zn数存在，zn数与xn-yn=k数步调节奏相同，这和连续奇数和自然数一样，必然因连锁关系形成x1n-y1n= xn、x2n-y2n= x1n、x3n-y3n= x2n……关系式，在xn-yn=k变差数列中会出现∞个这样的zn系列数，使得绝大部分自然数都加入到zn系列数中，所以从这个方面也可以证明xn-yn数中不可能有zn数存在（n≥3）。

解释特例，如xn-yn=z2数现象：如设x3-y3=k=A×B，x=y+1，因为A=1，则（x+p）3-（y+p）3= c×d ，假设 B=ab（b>a），当c=b时，化简后得到d=[a×b+3p（2y+1+p）]÷b，当a=7，b=13，y=5时，d=7+3p（11+p）÷13，由此可知，当p=13和p=2为最小整除商。其中p=2时， x3-y3=z2=132，根据xn-yn=k因子分布及幂增加变化原理可知，这种数只能独立存在，不可能有另外的13、133、134……13n系列数。再如123-103=728=23×7×13→163-143=1352=23×132，也是一样的。

综上所述，费马大定理成立。

四、卡塔兰猜想

根据公式xn-1=k分解因式公式建立數列群数表7（x和n为整数）。

卡塔兰变差数列数表中n≥3部分是由费马大定理变差数列数表中的无穷个首项组成的，如255= 44-1，63= 43-1等等。此外多了一个x2-1变差数列。

根据前面费马大定理证明，我们仅需证明两个问题就可以了。

1. x2-1变差数列中可否有x2-1= ym数？由 x2-1=（x-1）（x+1）可知（其中x≥2）：x=2时，x2-1=1×3=3； x=3时，x2-1=2×4=8=23； x=4时， x2-1= 3×5；x=5时， x2-1=4×6；此后是5×7；6×8；7×9……两个相差为2的数相乘时，只有x=3时，x2-1=2×4=8=23；再也不可能有第二个，是因x2-1中的1、2、3三数互换组合结构形成的。1是最小单数奇数，2是最小偶数和最小素数，3是最小奇质数。它们的互换结构原理是3-2=1，3+1=22，3-1=21，32-1=23等。其中只有1、2、3，没有别的数。因此才有32-1=23结果，除此再也不可能找到这种结构的数，是唯一特例。此后出现的x2-ym数皆大于1。

2. n≥3时xn-1=k变差数列中可否有ym数？xn-1变差数列因子循环周期公式：设xn-1=k，当x增加了p时（p为整数），则（x+p）n-1n= （xn-1）+pt，其中当p=（xn-1）时为k因子的一个完整分布周期，当p

综上所述，只有唯一的32-1=23，其它xn-ym 皆≥2，卡塔兰猜想成立。

参考文献

[1]《哥德巴赫与孪生素数猜想》（《新农村》2017年第一期）