Willamowski-Rössler系统混沌行为的数值仿真及控制与同步研究*

孙伟鹏 王贺元 阚猛

(辽宁工业大学理学院,锦州 121001)

引言

人们很早就发现化学反应中存在混沌现象[1,2],化学混沌作为混沌学的一个重要分支,已经越来越被人们所关注和重视.所谓化学混沌[3],是指化学反应中某些组份的宏观浓度不规则地随时间变化的现象,这种不规则性与实验条件和仪器误差无关,是由其内部反应机理所决定的.事实上,绝大多数的化学反应速率方程都是非线性的,因此化学反应出现振荡(周期的或者混沌型的)是不足为奇的.1921年,Bray就已发现H2O2被I2-HIO3催化分解的反应中出现振荡[1].1958年,别洛索夫发现,由溴酸钾[KBrO3]、丙二酸[CH2(COOH)2]、硫酸铈[Ce(SO4)2]与硫酸的混合液中,生成物交替出现红色和蓝色.1964年,扎博金斯基用锰或试亚铁灵代替催化剂铈,从而发现了著名的B-Z振荡反应[1].1973年,Ruelle首次在化学反应中发现浓度随着时间做不规则的非周期变化[4].迄今为止,已经在B-Z反应体系等许多化学反应体系中发现了化学混沌.

随着对混沌的不断探索与深入研究,混沌控制也成为广大学者研究的热点之一[5-8].1989年胡伯勒(A.Hubler)首次提出混沌可以被控制,次年,奥特(E.Ott)等通过参数微扰法(OGY法)成功控制了混沌.近年来,混沌控制已经被广泛应用到通信加密、神经网络、计算机等众多领域[9,10].然而,关于化学混沌控制方面的研究相对较少,因此,对Willamowski-Rössler化学系统[9]的控制与同步研究对提高化学反应催化性能、改善混合过程等具有重要意义.

本文在前人工作的基础上,结合现代非线性分析方法分析Willamowski-Rössler模型复杂的动力学机理,对其动力学行为进行详细的仿真模拟.通过自适应控制[11,12]及非线性控制方法使其无量纲系统[13,14]稳定到了平衡点处,采用驱动-响应方法对该系统实现了全局指数同步[15-18],最后通过数值仿真验证其有效性.

1 Willamowski-Rössler系统简介

Willamowski和Rössler第一次提出由化学反应机理产生的化学混沌模型,可由如下动力学方程描述:

(1.1)

式中ki为大于零的常数,表示反应速率.该化学反应体系存在的复杂动力学行为是由其内部反应机理所决定,与实验所处条件及仪器误差无关.

牛宏在文献[9]中,取参数k1=30,a=0.25,k2=1,b=10-4,k3=10,c=10-3,k4=1,d=10-3,k5=16.5和e=0.5,仿真出了系统(1.1)三维相图(如图1),陈帝伊等学者在文献[14]中对系统(1.1)的无量纲化模型进行了分析与仿真,均验证了该系统混沌行为的存在性.在此基础上,本文研究了当反应速率k4变化时系统(1.1)的数值仿真问题,仿真了系统(1.1)以倍周期分岔途径进入混沌,再由混沌进入周期轨道的动力学行为.模拟了系统发生分歧和混沌的全过程,同时实现了对系统(1.1)的混沌控制与同步.

图1 系统(1.1)的三维相图Fig.1 Three-dimensional phase diagram of model (1.1)

2 Willamowski-Rössler系统的动力学行为仿真

文献[9]和文献[14],只简单分析了系统(1.1)混沌行为的存在性,并没有给出混沌发生的途径和具体过程.在本节中,我们对系统(1.1)进行了更加详细的数值模拟,固定参数k1=30,a=0.25,k2=1,b=10-4,k3=10,c=10-3,d=10-3,k5=16.5和e=0.5,仿真系统(1.1)在k4取不同值时的吸引子图.同时给出了系统(1.1)的分岔图、最大李雅普指数图、庞加莱截面、返回映射和功率谱,从不同角度反映了系统(1.1)的混沌行为.下面我们对仿真结果总结归纳如下:

(1)当k4<0.5081…时,系统(1.1)是稳定的,如图2(a).

(2)当k4增大到0.5081…时,系统(1.1)第一次发生分岔,出现了图2(b)所示的周期运动.

(3)当k4<0.8616…时,系统(1.1)出现了倍周期分岔,在k4=0.9517…时再次出现了倍周期分岔,随后k4在0.9702…, 0.97415…, 0.974996…,等处继续发生分岔,最终在k4=1时,系统(1.1)进入混沌状态,表现为许多不规则轨迹.而

可见系统(1.1)分岔点的间隔比趋于极限4.669201…,见图2(c)～(f).

图2 倍周期分岔到达混沌Fig.2 Period-doubling bifurcations to chaos

(4)图3(a)给出了系统(1.1)随k4变化的分岔图,从分岔图可以看到系统进入混沌状态的全过程,并且分岔图中的不稳定区间k4∈[0.8616…,1.03…]∪[1.1472…,1.1663]与图3(b)中正的李雅普指数区间是一致的.图4(a)～(c)分别为k4=1时系统(1.1)的庞加莱截面、返回映射和功率谱,图中均显示了系统(1.1)的混沌特征.

图3 系统(1.1)的分岔图(a)和最大Lyapunov指数图(b)Fig.3 Bifurcation diagram (a) and max Lyapunov exponent (b) of the model (1.1)

(5)当1.03

图4 系统(1.1)的庞加莱截面(a)、返回映射(b)、功率谱(c)及放大的分岔图(d)Fig.4 Poincare section (a), return map (b), power spectrum (c) and enlarged bifurcation diagram (d) of the model (1.1)

图5 由混沌进入周期解的过程Fig.5 Process from chaos to periodic motions

(6)随后在k4到达1.1472…时,系统再次进入混沌状态,这是一种间接式混沌,见图5(a).

当k4继续增大,分别在k4等于1.174516…,1.1814…,1.2249…处,系统(1.1)由混沌状态逐渐收缩成极限环,这是一个倒分岔过程,并且数值结果表明其分岔点也满足费根鲍姆常数,如图5(b)～(d).

3 Willamowski-Rössler系统的控制

3.1 Willamowski-Rössler系统的自适应控制

为了方便起见,根据数量间的量级关系,将(1.1)式转化为下面的无量纲方程组:

(3.1)

其中a=0.01,其它参数值与(1.1)式达到混沌状态时的取值相同.通过计算,该系统有六个平衡点,分别为:P1(0,0,5.7446),P2(0,0,-5.7446),P3(10,28.3674,1.5326),P4(10,51.4326,-21.5326),P5(-14.5253,0,30.1453),P6(2999.4499,0,0.0055).

根据自适应控制原理可得到系统(3.1)的受控形式如下:

(3.2)

其中,(x0,y0,z0)=(0,0,5.7446),当取P1=30,P2=20,P3=10,时,通过计算可知受控系统(3.2)稳定于平衡点P1.

3.2 Willamowski-Rössler系统的非线性反馈控制

为了方便讨论,作如下变换:

(3.3)

(3.4)

构造一个径向无界的Lyapunov函数:

4 混沌控制的数值模拟

本节通过实验对所选控制器加以验证.这里仅取不稳定平衡点P1,其他平衡点可以类似考虑.对于自适应控制,当P1=30,P2=20,P3=10时,系统的相轨迹图如图6(a)所示,可以看到系统的周期轨线被很好地控制在平衡点P1处.对于非线性反馈控制,当P1=-40,P2=5,P3=2时,系统的空间相图如图6(b)所示,其周期轨线也被很好地控制在平衡点P1处.

图6 自适应控制(a)及非线性反馈控制(b)下的系统相图Fig.6 Phase diagram of the system for self-adaptive control (a) and nonlinear feedback control (b)

图7 受控前系统(3.1)的时间历程图Fig.7 Time history of the model (3.1) without control

系统(3.1)受控前x,y,z的时间历程如图7所示,系统显示出不稳定的运动状态.取控制时间t为5s,初值x(0)=10,y(0)=5,z(0)=2,对于自适应控制,其受控后的时间历程图如图8(a)所示.由图中可以看出,(x,y,z)分别稳定到了(0,0,5.7446),即系统(3.1)被控制到了平衡点P1处.对于非线性反馈控制,其受控后的时间历程图如图8(b)所示.由图中可以看到在t接近1s时,系统(3.1)也被控制到平衡点P1处.

图8 自适应(a)和非线性反馈控制(b)下系统(3.1)的时间历程图Fig.8 Time history diagram of the model (3.1) after self-adaptive control (a) and nonlinear feedback control (b)

5 Willamowski-Rössler系统的同步问题

考虑系统(1.1)的同步问题,驱动系统的变量用下标1标注,响应系统的变量用下标2标注.则驱动系统为:

(5.1)

对应的响应系统表示为:

相同的原因会产生诸多不同的结果，而作者只是根据需要选择了其中的一种结果，或者能导致相同结果的原因是多样的，为什么作者会选择这样的原因，这样就产生了问题：“为什么作者会选择这样的结果？”或者是“导致这样结果的原因还有哪些？”并由此可以产生一系列的问题，只要学生认真去思考这些问题，他们对于文本的理解也就会深入。例如在教学《闰土》时，老师可以引导学生从以下几方面来设疑：1.闰土的变化为什么会那么大？说明了什么？2.如果闰土的生活环境换一下会有什么样的结果？这说明了什么？诸如此类，学生在阅读时要想解决这些问题，就必须认真去阅读文本，有时候还需要查阅相关资料。

(5.2)

这里μ1,μ2,μ3为要设计的控制函数.

由响应系统减去驱动系统可得到受控的误差动力系统:

(5.3)

其中ex=x2-x1,ey=y2-y1,ez=z2-z1.构造一个径向无界的Lyapunov函数:

对于误差系统(5.3),当控制器取:

6 Willamowski-Rössler系统的同步仿真

我们利用Runge-Kutta算法来验证上面提出的方法的有效性,驱动系统和响应系统的初值分别取(x1(0),y1(0),z1(0))=(17,14,29),(x2(0),y2(0),z2(0))=(25,36,24)

图9 控制参数k=50下的同步Fig.9 Synchronization when k=50

7 总结

本文对Willamowski-Rössler系统的动力学行为进行了详细的数值仿真,仿真结果显示,当k4<0.5081…时系统处于稳定状态,当k4=0.5081…时作周期运动,当k4=0.8616…时系统发生倍周期分岔,k4=0.9517…时再次发生倍周期分岔,最终经由倍周期分岔在k4=1时进入混沌.随后混沌消失,系统进入周期状态,在k4=1.1472…处再次产生混沌吸引子,当k4继续增大,系统由混沌状态逐渐收缩成极限环.

采用自适应控制和非线性反馈控制的方法将Willamowski-Rössler的无量纲系统控制在平衡点处,通过理论和数值仿真验证了两种方法的可行性.

采用驱动-响应的同步方法实现了混沌系统的全局指数同步,并且给出了同步的条件,通过理论分析和数值仿真表明了这些方法的有效性.

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