多种方法分析二自由度球面并联机构位置正反解

刘存生，韩先国

(北京航空航天大学 机械工程及自动化学院，北京 100191)

0 引言

传统的串联机构是由很多关节按顺序连接而成的一个开链式结构，这种机构由于自身结构特点而存在承载能力差、刚度低以及精度不高的缺点，限制了其在某些领域的应用。并联机构则是采用多个并行链构成的机构，与传统串联机构相比，具有刚度高、高精度、高承载能力、结构简单紧凑，容易实现组装和模块化。球面并联机构作为并联机构中的一类，具有十分重要的使用价值，其特点是所有转动副的轴线都交于一点，动平台可绕交汇点自由转动。该机构广泛应用于机器人的腕关节、肩关节、腰关节，卫星天线的方位跟踪系统，摄像机定位系统以及机床加工(如机床底座和工件的定位)等。

以二自由度球面并联机构为例，分别利用螺旋理论、欧拉角公式、矢量分析法3种方法分析其位置正反解，为后续球面并联机构理论研究开拓了思路。

1 自由度分析

二自由度球面并联机构属于少自由度球面并联机构，一般情况下是5杆球面并联机构，由静平台、5根连杆、5个转动副及动平台组成的，动平台绕轴线中心点作两自由度的球面运动，2个自由度分别是绕2个轴线的摆动运动。图1是二自由度球面并联机构的三维模型。

图1 二自由度球面并联机构的三维模型

二自由度球面并联机构结构示意图,如图2所示。图中1为固定机架，即为静平台，S1、S2是两个驱动机构，杆件2、5、6是3个连杆，7是输出机构，即动平台，杆件3、4和动平台8连接在一起，S3、S4、S5分别是3个转动副的轴线。在动平台上建立静坐标系和动坐标系，坐标原点在动平台中心点，其中x轴方向和S2轴线方向一致，z轴方向和S1轴线方向一致，坐标系建立符合右手螺旋法则，刚开始，静坐标系o-x0y0z0与动坐标系o-xyz重合，假设绕x轴转角是α，绕z轴转角是β。

图2 二自由度球面并联机构运动简图

采用旋量理论分析二自由度球面并联机构自由度，旋量或者螺旋指的是两个矢量的对偶结合且内积不为零，用螺旋来表示物体的螺旋运动或者物体受到的力螺旋，为了研究机械结构丧失一部分自由度的情况，引进了一个新概念反螺旋。反螺旋和螺旋式互逆的，当机械结构自由度少于6时，其螺旋量必然存在反螺旋[1]。从物理意义上来看的话，互易积为零的两个旋量，一个反应物体的运动，另一个反应物体的受力情况，因此互易积就是力螺旋对运动螺旋做的功。

球面并联机构的运动简图中，很容易求出机构运动螺旋$i：

$1=[0，0，1;0，0，0]

$2=[1,0,0;0,0,0]

$3=[-sinβ,cosβ,0;0,0,0]

$4=[0,-sinα,cosα;0,0,0]

$5=[S5;0,0,0]

由杆件2、3组成的支链2，对应的运动螺旋为：$2、$4，与之相对应的反螺旋系为：

(1)

由杆件5、6组成的支链1，对应运动螺旋为：$1、$3、$5，与之相对应的反螺旋系为：

(2)

从$6、$7组成系统的反螺旋中可以看出，其矩阵的秩为4，其中移动副矩阵的秩是3，转动副的秩是1，表示移动副限制三个自由度，转动副限制一个自由度，因此球面并联机构只有两个转动自由度。

2 正反解分析

并联机构位置正解是指根据机构的输入值，计算动平台的位姿；位置反解就是已知动平台位姿，求出输入机构[2-3]。位置正反解是动力学以及控制系统设计的基础，因此研究并联机构的正反解十分必要。本节分别用欧拉角公式、螺旋理论、矢量分析法等多种理论研究二自由度球面并联机构正反解模型。

2.1 欧拉角法求正反解

对于本机构二自由度球面并联机构，输入量是2个电机的输入角θ1、θ2，动平台输出量是FG的法向矢量ν。研究2个电机输入角θ1、θ2与动平台输出矢量ν的关系，如图3。

图3 欧拉角法正反解简图

根据欧拉角公式，绕动坐标系zxz分别旋转ψ、θ、φ角，转动矩阵为R。将3个矩阵相乘得到用欧拉角表示的刚体姿态矩阵R，R=R(z,ψ)R(x,θ)R(z,φ)。

(3)

其中Ψ为进动角，它表示被描述刚体的偏转方向；θ为章动角，它给出了被描述刚体朝着进动角所指方向偏转的角度大小；φ为自旋角，它与进动角共同描述了刚体绕其自转轴(前面定义中的z轴)的转动角度。

同理，可以根据欧拉角求出OF、OG、V在静坐标系下的坐标。

因此，二自由度球面并联机构反解：

θ2=arctan(tanθcosψ)

(5)

正解：

(6)

上式求出了动平台位姿和电机输入角之间的关系，其中动平台有两个转角是自由转动的，另一个转角由这两个转角唯一确定的。

2.2 螺旋理论求正反解

图4 螺旋理论正反解简图

其中：

(7)

(8)

其中：

b=‖S5×S4‖=1

(9)

(10)

位置正解：

(11)

(12)

(13)

2.3 矢量分析法求正反解

二自由度球面并联机构矢量分析法，如图5，机构由杆D1E、EG、D2F、FG组成。示意图坐标系以各轴线交点o为坐标原点，x0、y0、z0坐标如图，各个转动副轴线坐标系为zi(i=1,2,3,4,5,6)，zi轴线采用矢量ei表示。工作平台法向量为v。为了研究2个输入角θ1、θ2与输出矢量v的关系，将D1E杆旋转某个角度ε，考察D2F转动对输出的影响。

图5 矢量分析法正反解简图

对于杆D1E：

(14)

对于杆D2F：

(15)

平台输出量为矢量v,矢量e4和矢量u垂直，因此v=e4×u,则输出矢量v值如下：

(16)

如图5矢量e3、e4相互垂直，法向量为u,因此：u=e4×e3，则u的值如下：

(17)

因此位置反解：

(18)

位置正解：

(19)

(20)

以上3种方法在求解并联机构位置正反解中都有十分重要的应用价值，其中欧拉角公式和螺旋理论基于理论推导，具有普遍适用性；矢量法基于分析机构几何特征，应用于结构简单的机构中。在求解正反解时要根据结构特征选择适当的方法，可以使分析过程更加合理。

3 结语

随着球面并联机构应用越来越广泛，研究球面并联机构相关理论十分重要。本文通过以二自由度球面并联机构为例，利用螺旋理论分析自由度及其自由度的类型，并应用欧拉角法、螺旋理论以及矢量分析法等3种理论研究了球面并联机构的位置正反解，并比较3种方法的应用场合，为后续球面机构的运动学分析和控制系统设计奠定基础。

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