导数问题中的两条直线代换及其应用举例

陕西省西安市铁一中滨河学校 杨雨晴

高考中在导数问题上主要考查五个方面，即求切线、研究函数单调性、证明含参的恒成立不等式、函数方程根的个数与存在性证明、实际优化问题中的应用。随着广大师生对高中阶段导数问题的不断深入研究，常见的导数问题当中均涉及了y=lnx与y=ex这两个函数。这也将必修一当中的指数函数与对数函数和选修当中的导数紧密地结合在了一起。

在学习相关知识的过程中，我们发现函数y=lnx与y=ex各存在一条特殊的切线y=x-1与y=x+1，这使得很多问题在求解过程中可以得到化简，从而提高运算效率。本文首先证明了两个重要性质，其次针对一些高考真题与模考题进行了举例说明，最后对该方法进行了总结，并指明了其适用条件。

一、两个引理

在这一节当中，我们先介绍两个学习过程中发现的恒成立不等式，不妨暂且称之为“引理”。

1.对数函数的引理

对于对数函数而言，引理的具体描述如下：

证明：构造函数f(x)=lnx-x+1，并对函数f(x)求导可得：-1。

令 f′(x)=0，得到 x=1。

即：f(1)=ln1-1+1≤0，那么：

证毕。

2.指数函数的引理

对于指数函数而言，引理的具体描述如下：

证明：构造函数f(x)=ex-x-1，并对函数f(x)求导可得：f′(x)=ex-1。

令 f′(x)=0，得到 x=0。

即：ex-x-1≥0，那么：

证毕。

3.两个引理的几何解释

上述两个引理的实质是函数y=lnx与y=ex分别在x=1、x=0处的切线，如图1所示。

图1 两个引理的几何意义

掌握这两个恒成立的不等式，对于我们在实际解题过程中有多大的帮助呢？接下来，我们就通过几个例题来进行说明。

二、应用实例

1.实例一

首先我们来看一道2013年高考新课标Ⅱ卷的真题。

例1 已知函数f(x)=ex-ln(x+m)。

（1）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

（2）当m≤2时，证明f(x)＞0。

当然，我们的重点是第二问，第一问在此不做过多的解释。

对于函数中的y=ln(x+m)，可以理解为将函数y=lnx向左平移m个单位后变换得到的新函数，且这个平移的距离不超过2。当然，m＜0时为向左平移。

由图1可知，将函数y=lnx向左平移2个单位后，其切线y=x-1也将随之向左平移2个单位长度，这时恰好变为函数y=x+1，即函数y=ex的切线。那么，由两个引理可知，该问题的结论自然得证。

由引理2可知：ex≥x+1，当x=1时，“=”成立。

又因为m≤2，所以x+m-1≤x+2-1=x+1，当m=2时，“=”成立。

综上：ln(x+m)≤x+m-1≤x+1≤ex。

又：上式中3个等号的成立条件依次为：x=1-m、m=2、x=1，这三个等式不能同时成立，即：ln(x+m)＜ex，f(x)＞0。

证毕。

2.实例二

以下是2011年辽宁高考真题。

例2 设函数f(x)=x+ax2+blnx，曲线f(x)过点p(1,0)，且在p点处的切线斜率为2。

（1）求a、b的值；

（2）证明：f(x)≤2x-2。

（2）若证f(x)≤2x-2，即证3lnx≤x2+x-2。

由引理1可知，若要上式成立，则只需证明3(x-1)≤x2+x-2。

将该式整理可得：x2-2x+1≥0恒成立，那么：

证毕。

本文中所提到的两个引理源自指数、对数函数的两个特殊切线，这两条切线的斜率均为“1”，且切点分别位于两条坐标轴上。其应用条件为：一是所给函数中包含对数“lnx”或（和）指数“ex”项；二是均为证明恒成立的问题。

最后，由于篇幅原因，本文所采用的实例有限，并且未能将参考答案中的方法进行展示和比较。当我们能够同时比较两种做法时，本文所介绍的方法的优势就能够体现出来，尤其是在计算量的削减方面。

[1]李昭平.高考对导数问题考查的五大热点[J].中学数学研究，2004（5）：35-37.