管道中流体运动的电学对应

王鹏旭

摘 要：平时生活处处可见的管道里，也蕴藏着很多物理知识，流体力学便是其中之一，流体力学中的两个重要动力学规律分别是理想流体定常流动的伯努利方程和粘性不可压缩流体定常流动的泊肃叶定律。本文试图建立流体运动的这两个动力学规律和电路中电学规律（欧姆定律、基尔霍夫定律等）的对应关系，并据此解释一些生活现象。

关键词：伯努利方程；泊肃叶定律；欧姆定律；基尔霍夫定律

中图分类号：O361.3 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）03-0192-01

1 伯努利方程和泊肃叶定律的理论推导

1.1 伯努利方程的内容及推导[1]

定常流动的理想流体服从伯努利方程，即流管中各点处p+ρv2+ρgh为一个常数，其中p、ρ、v、h是该点流体的压强、密度、速度、位置高度，g是重力加速度。理想流体没有粘滞，故没有摩擦损耗，定常流动过程中能量守恒。设想在流体中取任一流管，考虑其在经过Δt的时间的运动过程中，流管两端的压力做功为p1S1v1Δt-p2S2v2Δt，流体的动能增加量为ρS2v2Δ-ρS1v1Δ，流体的重力势能增加量为ρS2v2Δtgh2-ρS1v1Δtgh1，能量守恒要求压力做功等于机械能的增加量，同时注意到理想流体S1v1Δt=S2v2Δt，故有p1-p2=-，从而流管两端的p+ρv2+ρgh相等，又由于流管的长度是任意选择的，所以流管任意位置的p+ρv2+ρgh是一个常数。

1.2 泊肃叶定律的内容及其推导[1]

粘性不可压缩流体的定常运动中，由于存在粘滞，能量一直在损失，因此需要外力做功维持运动，这导致流体两端有一个压强差，压强差p1-p2和体积流量Qv的关系是Qv=R4，其中η是粘滞系数，L是管道长度，R是圆柱形管道的半径。考虑定常运动，距离圆柱形管道中心半径为r内部的流体收到外部流体的粘滞力F=η2πrL应该等于压力差（p1-p2）πr2，从而得到管道内部流速分布v（r）=（R2-r2），因此体积流量为Qv=v（r）2πrdr=（R2-r2）2πrdr=R4，这便是泊肃叶定律的数学表达式。

2 伯努利方程、泊肃叶定律的电学对应及应用

2.1 伯努利方程的电学对应

结合流量公式Qv=Sv，其中S为截面积，v为流体速度，改写伯努利方程p1++ρgh1=p2++ρgh2为（p1+ρgh1）-（p2+ρgh2）=ρ，方程左侧等效为电势差，右侧体积流量Qv等效为电流，可类比电学中的欧姆定律。但注意对于欧姆定律U=IR，电势差和电流是正比例关系，而改写后的伯努利方程右侧是体积流量的平方，所以这个对应不是十分自然，从而造成伯努利方程的电學对应无法很好地完成，这本质上是因为伯努利方程中ρv2是一个关于速度v的二次函数。

2.2 泊肃叶定律的电学对应

改写泊肃叶定律的数学表达式为p1-p2=Qv，类比于电路，压强差对应着电势差U，体积流量对应着电流I，流阻（定义为压强差和体积流量之比）对应着电阻R。因此泊肃叶定理对应着电路中的欧姆定律。同时电路中的基尔霍夫定律也可以很好地在流体运动中得到对应。管道中流体运动满足质量守恒，考虑是不可压缩流体，因此体积流量守恒，这对应着基尔霍夫第一定律，也即电流守恒。管道中压强是位置的函数，因此任一环路的压强差加和为零，这对应着基尔霍夫第二定律，也即电路中任一回路电势差之和为零。

相比于伯努利方程情形，泊肃叶定律的电学对应更加自然合理。由于管道中粘性不可压缩流体的定常运动能够和电学基本规律（欧姆定律、基尔霍夫定律）完全一一对应，因此，电学中的其他规律可以完全套用到流体运动中来。例如电路中的焦耳定律W=IUt对应流体运动过程中由于粘滞而导致的内摩擦损耗为W=Qv（p1-p2）t。实际上后一规律可以这样理解，由于是定常流动，所以粘滞导致的能量损耗必须由外界提供的力做功补充，这个力就是压力，流体两端的压力差的功率就是Qv（p1-p2），乘以时间即为压力做功，并且全部转换为流体内摩擦导致的能量损失，该能量实际上全部转换为热能。另一个例子是，电路规律满足线性叠加原理，实际上流路也满足同样的规律，这里不再展开说明。

我们还可以把电路中的其他一些概念类比至流路中，例如电源、电容等概念。水泵能够提供压力差，类似于电源提供电势差。水箱可以储水，类比电路中的电容器，在外部使用一个水泵提供压强差为P时，水的高度差满足P=ρgh，水的体积变化V=Sh，流容C==。

2.3 伯努利方程及泊肃叶定律的相关应用

生活中有很多问题可以归结为管道中的流体运动，例如城市自来水管道中的供水问题，由于水的粘滞系数比较小，因此可以考虑为伯努利方程使用的情形。人体血管中的血液循环可以利用泊肃叶定律理解，人体的心脏就可类比为一个电源，为人体的血液流动提供压强差，动脉中的血压变化快慢也可以利用泊肃叶定律得到解释。在人体的主动脉、大动脉、小动脉、毛细血管中，血压在小动脉中下降最快，在其他地方降速比较慢[2]。考虑一个粗管道分成N个相同的细管道，粗管道中流速为v，细管道中流速为v'，流量守恒要求，细管的横截面积为S'=，血压的降速为k=Qv，所以细管道中血压降速与粗管道之比为。小动脉数目众多，因此N比较大，同时小动脉中流速和主动脉、大动脉差不多，因此小动脉血压降速会比较大；毛细血管中血液流速很慢，v'/v接近0，但N也比较大，最终造成毛细血管中血压降速慢于小动脉，但快于主动脉和大动脉。

3 结语

通过对伯努利方程、泊肃叶定律及其电学对应的研究，可以将电学中的诸多概念和规律类比到流体运动中，我们发现泊肃叶定律和电学规律能够完全一一对应，这为解决管道中流体运动的问题提供了一个全新的思路，这些结果可以应用至城市水管建设、血液流动研究等方面。因此该对应有着广泛的理论和实际用处。

参考文献

[1]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程：力学[M].北京：高等教育出版社，2004：236-251.

[2]侯玉林，乔庆军.泊肃叶公式及其在血液体循环中的应用[J].南阳师范学院学报，2006，5（9）：38-40.