基于多物理场耦合的车载空心电抗器振动特性研究

应承伟，李水清，王文华，金立军*

(1.同济大学 电子与信息工程学院，上海 201804；2.上海正泰电气有限公司，上海 201614；3.浙江省电力公司 嘉兴供电公司，浙江 嘉兴 314000)

0 引 言

空心电抗器结构简单、散热快且安全可靠，常应用于轨道交通车辆上，一般悬挂于车厢底部。在列车行进时空心电抗器会受到电磁力和温度差异以及列车随机载荷的影响而发生振动，故有必要对其进行振动分析以确保其不会处于共振状态而影响寿命甚至损坏。

通常对于列车上设备的振动分析描述参数是固有频率(特征值)和对应的振型(特征矢量)，当载荷的频率与设备固有频率相接近、载荷方向与振型相一致时，会引起设备大的振动，甚至共振，最终导致设备的损坏。因此对于设备固有频率及相关振型的研究有着非常重要的现实意义，二者共同构成了描述振动件的模态[1]。文献[2]结合二维磁场和机电耦合系统的Lagrange方程建立了变压器绕组轴向机电耦合的动力学模型，得到变压器绕组耦合振动方程。文献[3]通过基于“磁-机械”耦合场理论仿真分析，得到了变压器绕组在电磁力激励下正常与松动状态下的振动特性。文献[4]研究了轴向安培力对于变压器绕组固有频率的影响，并分析了由振动产生的动生电动势成分。目前大部分研究都是针对常见变压器设备以及其绕组故障诊断方面的分析，很少有对列车上电气设备进行振动特性研究分析。

本文对空心电抗器进行随机振动特性分析。

1 车载空心电抗器随机振动特性

现实中列车运行时所受到的载荷是不确定的，悬挂于车厢底部的空心电抗器受到的振动载荷也是不断变换的[5]。由于时间历程的不确定性，需要从概率统计学角度出发，将时间历程的统计样本转变为功率谱密度(power spectral density，PSD)函数。在功率谱密度函数的基础上进行随机振动分析，得到响应的概率统计值。设空心电抗器载荷历程为F(t)，则其功率谱密度函数为：

(1)

根据文献[6]可得该空心电抗器的PSD频谱如图1所示。

图1 3个方向的PSD频谱

图1中垂向、横向和纵向在5 Hz～20 Hz的PSD值分别为0.029 8、0.006、0.014 4，在20 Hz～150 Hz均以-6 db/oct的斜率下降。

在进行随机振动分析之前先要对空心电抗器进行模态分析，以得到其结构的固有频率。为此需要建立空心电抗器的有限元模型进行分析。

由于空心电抗器的结构不含阻尼机制，其阻尼比小于10%，阻尼对其结构的固有频率影响很小，可进行不考虑阻尼的实模态分析[7]。空心电抗器是一个复杂多自由度机械系统，其无阻尼模态分析的运动方程为[8]：

[M]{x″}+[K]{x}={0}

(2)

式中：M—模型单元质量矩阵；K—模型单元刚度矩阵；x—模型节点位移矢量；x″—模型节点加速度矢量。

模型的自由振动为简谐振动，即：

x=xmsin(ωt)

(3)

代入式(2)得：

([K]-ω2[M]){x}={0}

(4)

其中，经典的特征值问题，其特征值ωi对应的特征向量{x}i为自振频率f=ωi/2π对应的振型。

本文以实体空心电抗器为研究对象建立了其三维有限元模型，并对其进行了精细的网格剖分，空心电抗器的有限元模型如图2所示。

图2 空心电抗器的有限元模型

本研究根据公式(4)对有限元模型进行模态分析计算可得空心电抗器的前6阶模态频率以及对应的振型，结果如表1所示。

表1 空心电抗器的前6阶模态

本研究在模态分析基础上再进行随机振动分析得到PSD响应结果，其中垂直方向的响应出现明显的极值，垂向PSD响应曲线如图3所示。

图3 垂向PSD响应曲线

从图3可以看出：垂直方向的PSD位移响应会在67.63 Hz、76.357 Hz、111.95 Hz和115.35 Hz频率处出现极值，即在这几处频率空心电抗器会发生共振，最大响应值为9.8×10-21m2/Hz。

2 空心电抗器载流时电磁力和热应力

运行中的空心电抗器在结构上除了受到电磁力的影响外，还会受到热应力的影响。两者对空心电抗器的结构影响不可忽视[9]。

首先本研究在电磁场中计算绕组所受电磁力和绕组损耗。对绕组施加电流作为激励，整个电抗器施加磁力线平行边界条件，其余为自然边界条件。空心电抗器绕组受到的电磁力Fd为其有限元分析模型中任一单元的电磁力[10]，即：

(5)

(6)

绕组中单元体积的焦耳热有：

(7)

式中：Qe—单元体积的焦耳热；α—电阻率矩阵；Jk—单元积分点k的电流密度。

根据式(6～7)进行电磁场有限元计算，即可得绕组所受电磁力Fd和绕组损耗Q。

将绕组损耗作为热载荷导入温度场中，由热传导方程和边界条件可求出温度分布[11]。对于三维物体，其内部的热传导方程为：

(8)

式中：Te—该单元温度；λx，λy，λz—单元x、y、z方向的导热系数；ρ—该单元的密度；c—单元比热容；t—时间，边界条件T(0)=Ts，初始温度为Ts。

由公式(8)进行温度场有限元计算可求解出空心电抗器温度分布，将温度分布和电磁力代入机械场，对电抗器顶部安装孔施加位移全约束边界条件，根据热弹性力学方程即可求出形变和应力[12]。计算方程为：

(9)

(10)

式中：ε—单元应变；E—单元材料的弹性模量；σ—单元应力；β—线热胀系数。

基于上述计算公式对图2所示的模型进行有限元计算可得空心电抗器受电磁力和温度影响的形变分布，其云图如图4所示。

图4 空心电抗器载流时形变分布云图

由图4看出：空心电抗器运行时各部分存在一定温度差异，而在电磁力和热应力的影响下空心电抗器各部分出现大小不一的形变。

3 多物理场耦合空心电抗器振动特性分析

相比于第2部分的随机振动分析，这部分将引入空心电抗器运行时受到的电磁力和热应力影响因素，使振动特性分析更符合实际情况。无论是电磁力还是热应力都会影响到结构的刚度，进而影响到模态分析的结果[13]。式(2)的刚度矩阵K满足：

(11)

式中：Ke—单元刚度矩阵；D—单元材料特性矩阵；B—单元应变矩阵。

多物理场耦合迭代计算过程如图5所示。

图5 多物理场耦合迭代计算流程

在所建立的变压器有限元模型中，电磁场、温度场和机械场计算所用的三维有限元模型完全相同，且具有相同的几何结构与节点编号，采用顺序耦合法进行计算，即前一个场的计算结果作为激励施加至后一个场的计算中，进而输出计算结果，实现多物理场的耦合迭代[14]。

最后本研究在机械场中进行随机振动分析，得到的模态分析结果如表2所示。

表2 改进后空心电抗器的前6阶模态

可以看到：前6阶的模态频率发生了改变，这也影响到了其共振频率的改变。

随机振动分析的结果如图6所示。

图6 改进后垂向的PSD响应曲线

同样地共振点发生了改变，出现在了68.356 Hz、80.791 Hz、111.93 Hz和118.95 Hz处，说明空心电抗器在工作状态和非工作状态下的结构特性不同，导致共振频率也不一样，相应的最大响应值增大到4.2×10-19m2/Hz。

在实际设计空心电抗器过程中，考虑电磁力和温升的影响，通过采用机械强度更好的材料，例如Q345型号的材料，能够承受较大应力和形变，以及通过改变其结构，像减小电抗器高度等措施，可改变其固有频率避免和列车发生共振。同样地，一台三相电抗器样品在进行相关振动试验时发生结构上的破坏，通过考虑电磁力和热应力的因素对其结构进行了相应的改造，使其散热更好并且受到的电磁力更小，改进后的电抗器可以成功地通过振动试验，说明考虑了电磁力和热应力的分析计算结果更贴合实际结果。

4 结束语

基于多物理场耦合计算，本文对空心电抗器进行了振动特性分析，结果表明：

(1)不考虑电磁力和热应力的车载空心电抗器随机振动分析只探讨了列车运行时的随机载荷对空心电抗器的影响，在67.63 Hz、76.357 Hz、111.95 Hz和115.35 Hz这几处频率空心电抗器会发生共振，最大响应值为9.8×10-21m2/Hz；

(2)在考虑了电磁力和热应力后，振动分析更符合空心电抗器实际运行情况。电磁力和热应力明显地影响了空心电抗器结构特性，其共振频率因此也改变为68.356 Hz、80.791 Hz、111.93 Hz和118.95 Hz，最大响应值也增大到4.2×10-19m2/Hz，即共振幅值变大，更可能引起空心电抗器结构损坏以及绕组变形进而引发其电气故障，可知在空心电抗器更应避免该分析下的共振点。

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