基于滤波器的迭代学习最小二乘辨识方法*

史伟民，吴达伟，杨亮亮

(浙江理工大学 机械与自动控制学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

一个运动控制系统通常由上位机、运动控制器、伺服驱动器、电机及执行机构等构成[1-3]。运动控制器作为一个机电系统的重要组成部分，它直接影响整个系统的控制效果。

要想达到高速度高精度的控制效果，控制器参数的设置至关重要。如果参数设置不合理将会导致整个运动控制系统的不稳定，进而达不到所要求的运动性能。目前对控制器参数的设置多是根据人为经验来调整，虽然简单易行但是效率低下，控制性能依赖参数设置人员自身素质。因此，要想得到一个稳定的、高速度高精度的控制参数，精确的控制对象模型很重要[4-6]。

最小二乘辨识方法因其简单稳定，在参数辨识方面有着广泛的应用。文献[7]中采用递推最小二乘法对永磁同步电机进行离线参数辨识，成功地辨识了电阻和电感参数；文献[8]中以直线伺服系统作为辨识对象，用基于最小二乘的阶跃辨识法获得了比较精确的系统模型参数；李洪宇等[9]通过测量定子电压和电流，基于扩展卡尔曼滤波器(EKF)，研究了一种新颖算法，通过将两个基于扩展卡尔曼滤波器模型有机结合，协同工作，实现了对转子电阻、励磁电感、转子磁链和转速在线辨识；李旭春等[10]在电机静止状态下使用递推最小二乘的辨识方法获得了电机参数，虽然他们通过不同的辨识算法获得了辨识参数，但是得到的辨识参数反映在伯德图上的情况并未做详细说明。对于高阶系统辨识，尤其是带有振荡环节的辨识，普通的最小二乘算法辨识精度不够，即使性能准则函数达到最优，系统中的振荡环节也未必能够得到体现。

因此，本研究将提出一种迭代滤波最小二乘辨识方法。

1 辨识模型

设离散化的传递函数如下:

(1)

式中：α0…αn—分子需要辨识的系数；β1…βn—分母需要辨识的系数；z—延迟因子。

系统辨识中常用的广义误差模型如图1所示[11]。

图1 广义误差模型P—控制对象；r—输入信号，即参考轨迹；n—外部干扰；y—系统输出；N(z)，D(z)—广义模型；e—广义误差

可表述为:

(2)

输出误差模型如图2所示。

图2 输出误差模型e—辨识出的模型输出与实际系统输出之间的差值

(3)

但是输出误差ej是关于参数α0…αn、β1…βn的非线性函数，这样就增加了求解参数的难度和计算量。

因此，本研究在图1的基础上提出一个新的辨识模型。在输入和输出数据两边同乘以1/Di-1(z)，相当于引入一个参数变动的低通滤波器。

迭代模型如图3所示。

图3 迭代模型经过低通滤波器滤波后的r，y

当图3的模型辨识参数达到收敛的情况下，Di=Di-1，即：

(4)

本研究通过迭代的方法把输出误差模型转化为广义误差模型来求解。

滤波迭代模型如图4所示。

图4 滤波迭代模型Band-pass filter—带通滤波器；x，w—经过带通滤波器滤波后的输入输出数据；经过迭代低通滤波器滤波后的数据；i—迭代次数

2 系统参数辨识

根据图4得到：

(5)

误差为:

(6)

即：

(7)

为了方便计算写成如下形式：

(8)

其中：

(9)

(10)

式(7)代入到式(8)中可得：

(11)

则：

δ=Q-1C

(12)

其中：

(13)

3 参数辨识仿真与实验分析

3.1 参数辨识仿真分析

本研究以下式离散传递函数为参数辨识仿真对象，来验证本研究中提出的算法的有效性：

(14)

本研究用白噪声作为输入数据，发送给传递函数得到输出数据。在这里需要注意对干扰噪声的设置，噪声过大会造成仿真辨识结果失真辨识失败。

参数迭代辨识结果如图5所示。

图5 参数迭代辨识结果

通过图5的仿真结果可以看到：经过五次迭代辨识后辨识数据已经收敛。

仿真真值对比如表1所示。

表1 仿真真值对比

最后的迭代辨识结果与仿真对象的真值对比，误差在2%以下。

3.2 直线电机参数辨识实验与结果分析

永磁同步直线电机结构简单，没有中间传动环节，在低速时仍有较好的性能。另外，永磁直线电机与直线感应电机相比，具有单位尺寸出力大、结构轻、惯性小、响应快、发热少、冷却要求低、精度高、结构简单、体积小、重量轻、损耗小、效率高、电机形状和尺寸可以灵活多样等诸多优点[13]。因而直线电机广泛应用于各种有高速高精要求的场合。

该实验的运动控制实验平台如图6所示。

图6 运动控制实验平台

两台直线电机构成x-y运动平台，直线电机均为Baldor公司的LMCF02C-HCO，运动位置由GSI公司分辨率为0.5 μm的光栅尺测量，伺服驱动器同样为Baldor公司提供的FMH2A03TR-EN23，对电机的控制采用电流控制。控制器采用的是TI公司的高性能浮点型数字信号处理器TMS320F6713。控制器的计算结果通过16位精度的数模转换芯片作为电流指令输出给驱动器。因实验中只用到了一个轴，只需把下层锁死即可。

通过用功率谱分析得出的直线电机伺服系统的伯德图可以看出直线伺服系统整体近似一个二阶系统，在100 Hz的频率点有共振和反共振产生，因此把整个直线伺服系统按照四阶传递函数来辨识。

把四阶传递函数用下式进行双线性变换：

(15)

式中：Ts—采样周期；z—延迟因子。

得到离散化的传递函数，即公式(1)中na=nb=4。为了保证中频段尤其是振荡环节辨识的准确，该实验中：

(1)设置带通滤波器的通带频率为80 Hz～200 Hz对数据进行滤波；

(3)用辨识算法进行辨识，得到δ；

(5)回到步骤(3)，直到数据收敛。

用基于滤波器的迭代学习最小二乘辨识方法对直线伺服系统的实验迭代辨识结果如图7所示。通过10次迭代参数已经收敛。

图7 实验迭代辨识结果

随着迭代准则函数也下降趋于收敛，准则函数如图8所示。

图8 准则函数

本研究用辨识结果绘制伯德图和功率谱分析对比，迭代学习最小二乘实验结果伯德图对比如图9所示。

图9 迭代学习最小二乘实验结果伯德图对比

由此可见，两者整体拟合，特别是反应在在100 Hz左右的振荡环节，散点图与实线完全拟合。

同样，本研究经过通带频率为80 Hz～200 Hz的带通滤波器滤波后的数据用批处理最小二乘辨识，得到的辨识数据绘制伯德图，并和功率谱分析对比，批处理最小二乘实验结果伯德图对比如图10所示。辨识数据结果的伯德图虽然大体可以重合，但是在100 Hz的振荡并无明显体现。

图10 批处理最小二乘实验结果伯德图对比

4 结束语

本研究通过分析传统的辨识模型的不足，进而推导出了一种基于滤波器的迭代学习最小二乘辨识方法。仿真结果表明：该算法可以成功辨识模型参数，误差在2%以下。通过运动控制实验平台进行对比实验证明：基于滤波器的迭代学习最小二乘辨识方法能够成功辨识模型参数，并且与传统的最小二乘辨识方法相比基于滤波器的迭代学习最小二乘辨识方法能够精确辨识出传递环数的振荡环节，得到更加准确的辨识对象的数学模型。

因此，利用基于滤波器的迭代学习最小二乘辨识方法辨识算法进行离线参数辨识，可为后期的高速高精控制器的设计、振动的抑制提供可靠的依据。

但是辨识算法中滤波器的设计不够灵活的问题，有待进一步研究。

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