以分段函数的微专题教学设计为例谈深度学习的有效方式*

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(当湖高级中学,浙江 平湖 314200)

高中数学课堂教学，不应该只是简单地知识传授和方法讲解，更应该是对知识生成的再体会，对自身知识体系的再完善，是一个让学生经历深度学习、发展理性思维的再提升过程.

1 深度学习的理性认知

深度学习是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程.在这个过程中，学生掌握学科的核心知识，体验学科知识的生成，把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机.

人教社章建跃博士认为，深度学习是相对浅层次学习而言的，可以把浅层学习和深度学习作一个对比.从认知的角度来看，从记忆模仿式的学习，到理解掌握式的学习，再到探究创新式的学习，深度学习应该是针对简单的模仿式学习而言的，深度学习是要使学生有探究和自主创新能力的学习.

在日常教学中如何开展深度学习？笔者认为，微专题能有效促进深度学习，是培养学生深度学习的最佳操作平台.波利亚曾经指出:“良好的组织使得所提供的知识容易用上,这甚至可能比知识的广泛更为重要.”微专题教学，以主干知识的一个中心词为节点，从细微处入手对知识进行拓展，它灵活、实用、有效，不注重知识的覆盖面，但求对知识的分析和拓展.在“微专题”方式下构建的课堂教学，内容专一，设计精妙，问题处理透彻，学生接受起来更加高效.一方面它提供了深度学习所必需的大环境，另一方面促成学生获得清晰的数学知识网络、系统的数学研究方法，为自身数学理性思维素养的逐步提高创造了条件.

2 分段函数的教学建构

微专题设计架构大致可以分成两类：第一类是以知识为线索，附以能力培养；第二类是以方法为主，附以知识应用和能力培养[1].本课的教学设计属于前者，即意在将人教A版《数学(必修1)》的知识点“分段函数”作为节点，以概念和性质为载体，整合分段函数的相关知识，通过对“分段函数一类问题”的解决，构建研究“函数一类问题”的基本思路、基本方法和技巧，直至渗透数学思想方法，培养学生形成研究“函数一类问题”的策略.

分段函数是函数知识体系中的一个重要概念，它既有代数的结构，又有几何的特征.分段函数对高中生来说，形式新颖，综合力强，思维难度大，要求学生不仅要深刻理解函数概念，还必须具备较好的逻辑推理能力和充足的思想方法储备，是高中数学学习中的绊脚石.本课通过“问题+例题+练习”的模式，渗透分类讨论思想、数形结合思想等思想方法，使学生在具体运用中归纳类比，形成自己解决此类问题的常用解题策略，轻松地搬开这块拦路石.

2.1 创设情境，构建概念

问题11)分段函数的概念是什么？

设计点评我们一般认为“分段函数是指一个函数在定义域的各个互不重叠的真子区间或点集上，用不同的表达式来表示函数值”.分段函数的准确概念,课本并没有明确给出,这是教材的一个模糊处理.在查阅了很多资料后,最终生成概念“对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数”.这个概念的形成，是函数概念体系下分段函数概念的一脉相承，符合学生的认知表象和情感需求.教师以此作为课堂引入情境，先让几个学生自由发言，给出自己对概念的定义，随后总结不足和缺陷，学生继续补充发言，最终形成了逻辑严密的分段函数概念.整个过程用时3分钟，师生积极互动，双向交流通畅，为顺利完成教学任务奠定了良好的基础.

对于构造分段函数，旨在学生自主探究的基础上，由学生上台板书、讲解，教师点拨提高，借助于他们对基本函数的认知，搭建符合自身的分段函数知识架构，不断填补知识的漏洞.在构造分段函数的过程中，自身知识的缺陷和思维的闪光点都展示得很充分，教师在走动巡视时，及时纠正发现的错误，表扬结构完美的作品，课堂气氛活跃，思维碰撞的火花四溅，学生参与教学的积极性被调动了起来，主动参与学习的兴趣浓厚.

2.2 深入探究，挖掘性质

2.2.1 定义域、值域

问题2求出构造的分段函数的定义域、值域.

归纳分段函数的定义域，是各段函数定义域的并集；分段函数的值域，是各段函数值域的并集.

2.2.2 分段函数的单调性

问题3已构造的分段函数是否是定义域上的单调函数？若不满足，如何调整使其成为定义域上的单调函数？

归纳若分段函数在其定义域内单调递增，需满足两个条件：首先，每一段都是增函数；其次，相邻两段函数中,自变量取值小的一段函数的最大值(或上边界),小于等于自变量取值大的一段函数的最小值(或下边界).

练习1已知

且f(x)是R上的单调递减函数，求实数a的取值范围.

2.2.3 分段函数的奇偶性

问题4已构造的函数是否具备奇偶性？若不是，能否构造一个分段函数，使其成为奇函数？

练习2已知函数

判断其奇偶性.

练习3已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x+x+1，求f(x)的解析式.

设计点评此阶段的设计，目的在于让学生在探究自己构造的分段函数所具有的性质时，结合前期函数性质研究的基本方法，多角度探究它的函数特征，使学生体会到掌握研究函数的基本策略和技巧，从而达到查漏补缺、扫清盲点、理清疑点、切实解决实际困难的目的.

教学设计所选的例题，切口小，针对性强，为学生的深度学习提供了很好的教学资源.练习1的选取，考查的是学生对不连续函数间断点对单调性的影响；练习2的选取，是学生平时作业中暴露出的数形结合思想缺失的“常见、常做、常错”类型；练习3的选取，是对学生规范运用概念解题格式的考查，特别是x=0的遗漏情况.通过这些题目，帮助学生建构良好的认知结构，关注自身认知障碍，挖掘出错误背后的知识漏洞和思维缺陷，提高了复习的针对性.

2.3 延展教材，感悟本质

练习5试画出函数f(x)=|x|·(x+2)的图像.

练习6设x为实数，[x]为不超过x的最大整数，则函数f(x)=x-[x]在R上为 ( )

A.奇函数 B.偶函数

C.增函数 D.周期函数

设计点评有的函数表面上不分段，其实也是分段函数，前期的学习中就接触过很多.本节所选的例子，源于教材，又高于教材，把隐藏于各个角落中的“蒙尘明珠”找出来，用学生最熟知的例子贴近他们认知的“最近发展区”.

回归教材，追踪其在知识结构和编排体系方面的痕迹，挖掘母题，发现联系，从差异中把握知识生成的过程，探究知识发展的内在线索，以此透视学科各个板块的内在逻辑和紧密相关性.受限于本设计针对的是高一新生，此环节没有进一步拓展延伸，如果面对的是更高层次的学生，相信对学生思维的深度发展会起到引领作用.

2.4 归纳提高，品味思想

本节课始终以知识线为明线、思想线为暗线开展：

1)知识线：分段函数的概念、定义域、值域、单调性、奇偶性.

2)思想线：分类讨论、数形结合.

练习7已知函数

其中a>0,且a≠1,f(x)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 ( )

练习10已知函数

其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有3个不同的根，则m的取值范围是______.

设计点评学生自己归纳，教师引导合成.3分钟的小结，凸显了数学教学重思想的策略，有助于学生学习技能的提高，更通过教师的引导和挖掘，使学生散乱的知识整体化，更加深入地理解分段函数，养成良好的思维习惯.

结尾的处理，教师起到的只是示范和引导作用，教学设计始终围绕着“利用函数图像研究分段函数性质”这一主题.纵观整个过程，教师讲解的时间只有10分钟，学生动手操作的时间非常充足，在实践中发现自己的问题并解决掉它，有效地开展和巩固学习，构建属于自己的知识网络.学生主动整合分段函数知识架构，构造分段函数研究体系，更加深入地反思，把数学的理性精神贯穿于学习当中.

3 深度学习的反思感悟

本节课的教学设计，来源于浙江省嘉兴市姚君依老师的一堂名师展示课.她的设计，充分利用了微专题教学以小见大、见微知著的特点，有效针对学生的认知盲区进行剖析，是促进学生深度学习的很好范例.

人教社章建跃博士提出：“深度学习要高度关注思维，特别是高阶思维，但并不意味着不关注结果，结果仍很重要.”上海市曹杨第二中学数学特级教师桂思铭老师也指出：“深度学习应该是和学习相关的，不是仅仅为提一个概念而提出的.”笔者很认同这些观点,并有以下3点体会:

1)微专题有助于促进学生的深度参与.

深度参与是深度学习的前提.我们总是感叹学生不能积极参与课堂教学,被动的学习造成了他们思维狭隘,反应速度慢,教师就会觉得自己唱独角戏更有利于课堂教学的进行.微专题由于涉及的面小，方便学生切入问题的关键，学生的分析、讨论、探究、展示更有感而发.本堂课中学生自主构造例题，就很好地展示了这一点.学生围绕着分段函数，高效地参与了教师的课堂设计，同时也进行了知识的建构和数学理性研究能力的培养，激发了自身的潜力，深度参与了课堂教学.

2)微专题有助于促进学生的深度思考.

深度思考是深度学习的重点[2].微专题以小见大，见微知著，此种教学的指导思想就是引导学生结合自身知识体系，针对遇到的问题进行深入研究，通过解决教师设计的种种难关，进而由浅入深、由表及里、在知识的运用中深化认知，提升自己的数学思维和技巧，从而达到举一反三、化繁为简的目的，使“精讲精练”成为可能.在授课时，学生所举的分段函数模型鲜活，虽然有着各种缺陷和不足，但是师生交流充分，互动频繁，尤其是最后4道习题的选取，把分段函数和函数零点、复合函数等知识点有机结合，极大地深化了对分段函数的认知.深度的思维参与带来了活跃的课堂气氛，确保了知识的有效传授，促进了学生群体间以强带弱、以先带后的良好学习氛围，使整个课堂都充满了学习活力.

3)微专题有助于引领学生的深度反思.

深度反思是深度学习的延伸.微专题的特点强化了学生的思考，但是教师的教学着力点不应该止步于此，更要引导学生从关注解决个别、孤立的问题中走出来，大胆寻找问题的内在联系，深入反思问题的本质内涵.本堂课的设计中，合理地利用小结，把教材中隐藏的相关内容展示在学生面前，从书本中来，回书本中去，针对学生熟知但是易忽视的内容及时反馈，针对学生出现的问题及时反思，把促进学生形成良好的数学认知结构放在核心地位，把培养学生的观察和分析能力深耕于日常授课中，如此教学，何愁不能取得良好的长期效益.深度学习是有意义的学习，不是单纯的接受，而是在发现基础上的同化；深度学习是阶梯式的学习，强调了进阶思维,鼓励动态前行；深度学习是理解性的学习，强调批判性的思维，强调学习过程的体验，强调了深度思考的核心地位，这就是对学科本质和知识意义的最好理解.

[1] 钱建良，曹钢.微专题“含有|x-a|的一类函数问题”的教学设计[J].中学数学月刊，2016(11):16-18.

[2] 曾荣.“微专题”复习:促进深度学习的有效方式[J].教育研究与评论，2016(4):28-34.