小学数学形象支撑与抽象学习辩证关系的处理

陈力

小学生的思维以具体形象为主，到高年级初步出现具体形象思维向抽象思维的过渡。数学是一门以抽象逻辑为主的学科，小学生要理解抽象的数学知识，离不开形象支撑手段，形象支撑手段可以降低学习难度，同时可以激发小学生的学习兴趣。但在实际教学中，一些数学教师只关注形象教学而忽略数学学科特点，不注重在恰当的时候培养学生的抽象学习能力。因此，在小学数学学习过程中，应根据年龄发展和内容渐进等特点，不失时机地适度展开抽象学习能力的训练。如何在小学数学教学中处理好“形象支撑”与“抽象学习”的辩证关系？笔者认为可从以下几个方面入手。

一、要处理好形象材料与抽象思考的关系

小学生对数学知识的学习主要经历一个“形象→表象→抽象”的过程。由此可见，他们对数学的理解是从形象开始的，如果提供给学生的学习材料生动形象、新颖有趣，那么不仅容易激发他们的学习兴趣，而且还能给学生理解数学知识提供鲜明的表象。但在教学实践中，不少教师在创设情境的时候，注重了形象性和趣味性，却忽略了数学味和思考性，出现了“为情境而情境、为形象而形象”的现象，这不仅对学生理解数学本质不利，长此以往对其数学抽象思维能力的发展也不利。为此，在给学生提供形象材料支撑数学学习的时候，要充分考虑数学的思考性，即在生动有趣的情境中要巧妙蕴含富有思维力度的数学问题，让他们“触景生思”，使他们通过对直观材料的理性思考和感悟，抽象出数学本质，发展抽象逻辑思维能力。

例如学习“相遇问题”时，某教师就地取材，给学生提供了一个形象材料，一上课就对学生说：“前几天放学发作业本时，我们班张兰同学的作业本被同桌刘亮装进书包带回家了，张兰同学回家后马上打电话给刘亮询问，证实了情况，请大家给他们出个主意，怎样才能节省双方时间尽快拿回作业本？”学生讨论出多个方案，有的说让刘亮送回去（但刘亮自己也要做作业而不能耽搁时间），有的说双方到电影院门口凑（先到的一方要等，也会浪费时间）。后来学生讨论出一个方案：双方约好六点同时从各自家里出发，向对方家里走去，走到碰面时停下来交还作业本。当学生讲出这一个方案时，教师随即让学生思考这种走法有什么特点，从而引领学生总结出同时出发、相向而行、同时停下、所用时间相同等要素。教师接着给学生提供两家之间的距离以及两人各自的行走速度，让学生算出几点几分能拿到作业本，并总结出这类问题的解决方法。该情境提供的形象材料是学生身边发生的事例，学生对讨论“自己世界”的事情颇感兴趣，理解起来也轻松，更主要的是该情境看似讨论生活问题，实则解决数学问题，整个情境始终引领学生思考如何不浪费时间，通过思考，学生感悟到了“相遇问题”的数学模型，并在解决实际情境问题中抽象出了“相遇问题”的数学本质，使形象材料与抽象思考得到了辩证统一。

二、要处理好形象手段与抽象目的的关系

数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性等特点。小学数学虽然经过教学法的加工处理，使之生动具体些，但从数、符号、概念、公式、定律等组成要素来看，无一不是抽象概括的产物。因此，要使小学生学好抽象的数学知识，必须要采用形象手段来辅助，让他们通过直观材料顺利地建立起表象，否则学习将会出现障碍。但数学教师必须清醒地认识到，形象支撑在这里只是手段而不是目的，因为抽象需要形象辅助，但辅助的目的是为了实现抽象，而抽象才是数学学科的本质和终极目标。教学实践证明，如果学生通过直观感知获得表象后，抽象概括不能及时跟上，学生获得的只是生活经验状态的知识而不是科學的数学知识，这样学生就不能深刻地认识数学的本质，这不仅影响当前的学习质量，而且会对他们的后续学习和抽象能力发展留下很多隐患。因此，数学教师在采用形象支撑（手段）帮助学生建立表象之后，一定要及时地带领学生向抽象（目的）“进军”。通过对表象分类、抽象、概括等活动，一方面使学生对所学数学知识有深刻的理解，另一方面培养学生的抽象概括能力。

例如学习“质数和合数”一课，由于质数、合数这些概念比较抽象，学生理解起来有一定困难，于是教材（北师大版）中给学生提供了“用小正方形拼长方形”这一形象材料，学生通过操作和记录，初步建立起了直观表象：用2个小正方形能拼成1种长方形，用5个小正方形能拼成1种长方形，用6个小正方形能拼成2种长方形，用12个小正方形能拼成3种长方形……此时，教师要及时引导学生将这些表象分类，按照“拼成的长方形只有1种和不止1种”的标准划分，寻找出正方形个数的因数，让学生从中发现规律。在对表象进行分类的基础上，教师带领学生抽象：只能拼成1种长方形的这一类对象有什么共同的要素？（它们的因数只有1和本身两个。）拼成的长方形不止1种的这类对象又有什么共同的要素？（它们的因数不止两个。）在舍弃了非本质属性，抽象出共同的本质特征后，教师要引领学生用数学语言将这些概念概括出来：只有1和它本身两个因数的数叫作质数，除了1和它本身外还有别的因数的数叫做合数。

三、要处理好形象对象与抽象时机的关系

在小学数学学习中，形象支撑和抽象学习的程度都是相对的，因不同的形象对象（不同的个体对象、不同的年龄阶段、不同的学习内容等）而有所区别。因此，教学中要根据实际对象需要来确定使用形象支撑和抽象学习的时机。以个体对象来说，即使是同一年龄阶段，中下学生也需要更多的直观辅助，而学有余力的学生更需要挑战抽象思维。比如学习“分数的基本性质”时，教师可采取分层教学，对学困生采用多媒体课件、学具操作等直观手段，辅助他们弄清分数的分子和分母怎样变化时分数大小才不变的道理；而对优等生则舍弃这些形象手段，让他们直接提出猜想，然后从正反两方面举例验证，通过筛选、试验等探究性学习，发现分子和分母变化的共同特征，最后自己用文字或符号等方式抽象概括出分数的基本性质。

小学生抽象概括能力的发展，主要经历直观概括水平、具体形象概括水平、形象抽象概括水平、初步的本质抽象概括水平等阶段。因此，在数学教学中，要根据学生不同年龄阶段的特点来确定形象支撑和抽象学习之间的使用比重，对低年级小学生来讲，他们更多的需要“生动形象”，但对高年级学生来说，则要增加“苦思冥想”的机会。同一知识领域的内容，在不同的学习阶段，其抽象概括的程度是不同的。如分数这一概念在小学阶段有两次抽象时机但概括程度不同，在三年级“分数的初步认识”时，主要从直观操作层面对分数的内涵作一个描述性的概括；而到了五年级“分数的再认识”时，则要在前期建立的表象的基础上，引导学生抽象出分数共同的本质属性（都是把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份），进而用文字概括出“分数”的定义。另外，不同的学习内容在小学阶段的抽象要求也不同，如对于“数与计算及应用”方面的知识抽象程度要求较高，而对“统计与概率”领域的知识抽象概括要求只是初步的，主要是借助具体情境来促进对抽象知识的理解。

四、要处理好当前形象与未来抽象的关系

笔者曾去初中跟踪调查过小学刚升上去的学生，结果表明中小学的衔接教育很重要。一些到了初中出现数学学习障碍的学生，虽然有许多原因，但是其中一个重要方面就是他们的思维发展水平和理解能力不能适应初中数学的学习特点，他们的思维类型基本上属于经验型的逻辑思维，而这种思维抽象水平比较低。初中数学学习内容的抽象性明显增强，直观演示相对减少，这就要求学生具有一定的理论思维能力，对所学数学知识的理解不仅要知其然，还要知其所以然。这些变化和小学阶段的学习特点有较大的反差，如果在小学阶段只关起门来教眼前的数学，而丝毫不考虑未来的衔接问题，将会有不少学生出现衔接上的障碍。实践证明，那些衔接做得比较好的数学教师，他们的学生升入初中后适应能力比较强，后劲比较足，具有较强的可持续发展能力。因此，如何缩短学生的适应转化过程，也是数学教师须要关注的一个领域。

本文只从形象支撑和抽象学习角度谈中小学衔接问题。根据小学和初中数学学习上的差异，我们应该在小学高年级开始孕伏衔接的种子。心理学研究表明，10～12岁正处于一个思维发展的加速期，而12岁正是儿童发展抽象思维能力的重要时期。因此，在小学高年级，我们要处理好当前形象与未来抽象的关系，一方面我们要运用形象辅助的手段让学生切实理解和掌握当前的数学知识，另一方面要适当地为他们未来升入初中学习做好铺垫，发展一些初中数学学习所需要的抽象能力。比如进入高段学习后，教师要逐步减少学生对实物或具体材料的依赖，可让学生运用数学符号或图示进行思维活动。在情境创设方面，可适当减少具体形象的生活化素材，适度增加纯数学的问题情境。在出示问题后，先让学生思考一阵，如果真的不能解决，再提供形象辅助手段。由于中学数学在很大程度上是属于推理的数学，因此在小学高年级就要创造条件让学生适当地对数学概念进行抽象概括，并运用概念、定律、公式等进行判断和推理，从而培养学生初步的抽象逻辑思维能力，以适应初中数学学习。

以上从四个角度谈了小学数学中形象支撑与抽象学习之间的辩证关系及处理方法，在现实教学中不止这四个方面，这只是我们初步研究的结果。今后我们将分知识领域对形象支撑在抽象的数学知识学习中的有效策略进行深入探索，力争取得更多的成果。

[责任编辑：陈国庆]endprint