浅析中值定理中的构造辅助函数法

郭秀荣

摘 要：微分中值定理反映了导数与函数的关系，建立了导数的局部性与函数整体性的联系，利用微分中值定理可以证明有关的等式或者不等式，有着非常重要的价值。本文利用构造辅助函数法给出了拉格朗日中值定理和柯西中值定理的另一种证明方法。

關键词：罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 构造辅助函数法

中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）08（c）-0157-02

微分中值定理反映了导数的局部性与函数整体性的关系，有着非常重要的应用价值。高等数学中介绍了3个微分中值定理，分别是：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。本文首先回顾拉格朗日中值定理和柯西中值定理，给出利用构造辅助函数证明这两个中值定理的另一种证明方法，然后将其应用于等式的证明中。

首先我们利用构造辅助函数法证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

1 构造辅助函数法证明拉格朗日中值定理

定理1：拉格朗日中值定理

若函数满足下列条件：

（1）f（）∈C[a、b]；

（2）f（）∈D[a、b]。

则至少Eξ∈（a、b），使得f'（ξ）=。

证明：令=k （1）

则只需证明f'（ξ）=k。由（1）变形得：f（b）-kb=f（a）-ka

构造辅助函数：F（）=f（）-k，显然F（b）=F（a） （2）

由f（）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，可得，

F（）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。 （3）

因此，由（2）和（3）知F（）满足罗尔中值定理条件，所以，至少Eξ∈（a、b），使得f'（ξ）=0，即f'（ξ）=k。

2 构造辅助函数法证明柯西中值定理

定理2：柯西中值定理

设函数G（），g（）满足下列条件：

（1）G（），g（）∈C[a，b]；

（2）G（），g（）∈D（a，b）且g'（）≠0，∈（a，b）。

则至少Eξ∈（a，b），使得

证明：令，=k （4）

则只需证明=k，即证明Eξ∈（a，b），使得G'（ξ）-kg'（ξ）=0。

由（4）变形得：G（b）-kg（b）=G（a）-kg（a） （5）

构造辅助函数，令H（）=G（）-kg（），则由（5）知：

H（b）=H（a） （6）

又因为G（），g（）∈C[a，b]，G（），g（）∈D（a，b）

所以G（）∈C[a，b]，G（）∈（a，b）. （7）

由（6）和（7）知H（）满足罗尔中值定理条件，所以至少Eξ∈（a，b）使得H'（ξ）=0，即：G'-kg'（ξ）=0，即=K。

3 构造辅助函数法应用举例

构造辅助函数法的思想：从要证明的等式入手，只需令常数部分为k，然后将其整理成两端对称相等的形式，从而构造出辅助函数，只需证明其满足罗尔中值定理，即可借助罗尔中值定理证明出等式成立。

例：若g（）在[a，b]上可导，ab>0，试证Eξ，（a<ξ

证明：令=k （8）

只需证明g（ξ）-ξg'（ξ）=k，由（8）整理得=k，

即：

令H（）=，则有H（b）=H（a） （9）

又因g（）在[a，b]为上可导，所以H（）在[a，b]上可导 （10）

根据（9）（10）可知，满足罗尔中值定理，因此Eξ，（a<ξ

4 结语

本文首先利用辅助函数给出了拉格朗日中值定理和柯西中值定理的另一种证明方法，我们称之为构造辅助函数法，然后将这种方法应用于等式的证明，并给出了构造辅助函数法的思想和步骤。实际上，构造辅助函数法不仅可以借助于罗尔中值定理证明等式，也可以利用构造辅助函数法结合拉格朗日中值定理、单调性以及曲线的凹凸性等应用于不等式的证明中。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

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[4] 郭乔.如何做辅助函数解题[J].高等数学研究，2002（3）：48-49.

[5] 毛巨根.证明不等式的一种巧妙方法——构造辅助函数法[J].绍兴文理学院学报：自然科学版，2009，29（3）：21-25.