弧度制概念构建中管窥数学教学的过程性原则

陈娟

[摘要]有效的数学教学，必定是数学知识发生过程丰富、学生构建有效的知识结构的教学.这就是数学教学的过程性原则.弧度制是数学的一个基本概念，以学生原有的角度制为基础，以问题打破学生的认知平衡，并创设简洁的学习情境，可以让学生经历一个丰富的弧度制的概念建构过程，从而保证了该概念教学的有效性.

[关键词]过程性原则；弧度制；高中数学

数学教学的过程就是数学思维活动的过程.研究表明，数学思维活动存在于数学概念建构过程、数学规律的探究过程当中.在教学中坚持过程性原则，可以真正让学生处于学习的主体地位，从而让数学知识的发生过程得以真正发生.“弧度制”是高中数学知识体系中的一个基本概念，也是学生不太容易理解的一个概念.学生常常会提出一个问题：一个圆周角是360度，其与π怎么会有关系呢？这样的问题如果要想在概念建构之时得到化解，那就必须坚持过程性原則.本文试就此问题进行阐述.

一、研究学生先前经验：角度制

毫无疑问，学生最为熟悉的角的表示方式就是角度制，这是学生在义务教育阶段的九年学习中积累起来的，在学生的先前经验中是根深蒂固的.弧度制的教学必须尊重这一先前经验.尊重学生的知识基础，这也是弧度制教学体现过程性的重要一步.笔者在教学中是这样与学生交流的.

首先提出一个问题：给出一个角，你们知道如何度量其大小吗？这个问题非常简单，目的就在于激活所有学生（面向全体的原则）的认知——角度制.通常情况下，学生都会轻易地答出：用量角器测量.我紧跟着提出第二个问题：用量角器量出的“度”是怎样定义的？这个问题相对于前一个问题而言稍显复杂，因为学生用惯了角度制，却容易忽视其定义方式.但这个问题通常也难不倒学生，只要稍加点拨，学生即可认识到：1度即为将一周角360等份，然后取其中1份即为1度.在此基础上，教师用“角度制”概括前两个问题的讨论结果，并提出新的问题：角度制中为什么采用360等份？为什么不采用更常见的100等份？“度”下面还有“分”和“秒”单位，它们的进制有的是十进制，有的是六十进制，这是不是一种矛盾？这几个问题是学生所没有思考过的，但学生用一两分钟的时间思考之后便又发现确实是个问题，而且还是存在着一定不合理性或者说矛盾的问题.

遇到这种矛盾怎么办？教师可以引导学生认识到有两个选择：一是修改原有的方法；二是建立新的办法.这是一个方法论的问题.等学生认识到这一点之后，教师再提出数学上为了弥合这种矛盾且让进制变得统一，通常采用的办法是引入新的描述角的方法.

上面几个问题在教学中具有承上启下的作用，既帮学生巩固了先前经验，又让学生发现了矛盾，从而打破了原有的认知平衡.这种平衡一旦被打破，学生对新的学习就有了明显的动机.

二、寻找新的表示方式：弧度制

如果说上一环节使学生有了新的学习动机的话，那如何为弧度制的引入创设一个恰当的情境，则是面临的新的问题.数届学生的教学实践让笔者认识到，此时的情境创设不宜过于复杂，甚至也不能过于生活化.因为笔者发现如果情境过于生活化、过于复杂，不但浪费了时间，还会让学生的注意力发生转移，这对数学概念的建构来说是一个相当消极的影响.这一教学认识与理论之间可能存在一些矛盾，因为很多情况下学习情境都是强调生活性的，但实践还是让笔者得到上面的结论，并且坚信其是符合高中数学教学实际的.在这一思路下，笔者给学生提供了这样的一个情境：在黑板上任意画出一个锐角，并提出问题：如果不用量角器，即不用角度制，那应当如何表示其大小呢？

这个情境与前面复习时问题中的素材是一样的，但问题给出的条件是不同的.不用量角器实际上也就是不用角度制，不用角度制意味着原有的研究角的方法不可用了.于是情境所催生的问题就很明确了，要寻找一种新的表示角的方法.既然是一种方法，那就必须具有普遍意义，就要寻找变与不变的关系.通常情况下，学生的思路是不容易突破的，这个时候教师可以发挥教的作用.笔者的做法是用圆规一脚固定在该锐角的顶角处，然后任选三个长度为半径，作出三个同心圆，于是这个锐角就成为这三个同心圆的圆心角.画完之后稍作停留，看学生的反应.

如果不出意外，此时班上数学基础好的学生会有所感悟，尽管他们可能一下子还不能从弧度与半径的关系去寻找新的描述角的方式，但一定会有所发现.此时可以以小组合作的方式，先让学生进行讨论（通常分组时，这些尖子生就分散在各个小组，因此每个小组都会在他们的带领之下获得新的理解）.小组讨论并交流完毕之后，教师进行下一步的引导，实际上也就是提出问题：同一个角对应着三个不同的圆，反过来就是三个不同的圆对应着同一个角，这种“同”与“不同”的背后，是不是存在着某种可以描述角的方式呢？基于刚才的讨论，基于这一问题的驱动，学生就比较容易发现同一个角所对应的“弧”与“半径”虽然是不同的，但是它们的比值却是相等的.相等意味着定值的存在，而定值在数学中常常都是有代表意义的，而这就意味着一个角所对应的弧与半径的比可以成为新的表示角的方法.

经验表明，此时是需要停顿的，是需要留出时间让学生内化的——角度制是可用量角器量的，有感性经验，已经成为学生的直觉，而新的方法只是逻辑推理的结果，感性经验相对不足，这必然会产生文章开头提到的困惑，这个困惑最好的化解时机，就是此时（弧度制的数学语言描述，这里不再赘述，因为其与传统教学思路已经趋于一致）.

三、思维过程循序渐进：过程性

在上述两步教学中，先放大了学生的原有先前经验，后又通过问题的提出使学生的认知处于矛盾与失衡当中，从而产生对新知的学习动机.在学习动机的作用下，通过简洁的学习情境的提供，使得学生发现了新的定义角的方法，于是弧度制顺利形成.

事实证明，这是一个非常符合学生认知习惯的过程，学生在这个过程中会遇到困惑，但困惑的解决过程也是顺利的.更重要的是，经过这样的教学过程，学生对弧度制的认识是全面的，理解是深刻的，他们没有那种被生硬地强行灌输式的感觉，用有些学生的话说：“弧度制也没什么复杂的，就是换一种方式描述角嘛！”而这样的理解，也恰恰是笔者所追求的.

进一步分析还可以发现，在上述教学过程中，学生的思维其实是循序渐进的，他们没有因为学习过程中出现突兀的情形而思维被阻碍，也没有因为教师过多的讲授而使思维处于被动接受的状态.这种过程性对于高中数学教学来说，是极为重要的.因为在教学实践中笔者总发现相当一部分学生的数学学习总受制于思维，而思维的不畅又很大程度上是教学设计存在问题.学生主体性的缺失，学生思维缺少载体，思维存在较大的跨度而没有梯度等，都会成为思维阻塞的原因.而只要真正从思维的过程性角度思考，真正从学生认识一个数学概念或规律的过程角度思考，就会比较准确地预设到学生可能存在的问题，从而在教学中就可以对学生出现的问题进行有效的化解，或者说能够让学生在一个更为合理的过程中有效地完成自主建构.弧度制在高中数学知识体系中说难不难，说易却也不易，因为这个概念与角度制之间不存在知识上的太多联系（角度制与弧度制的换算其实在高中数学中涉及不是很多），方法上也不存在太多的相通的地方，仅仅是它们研究的目标相同而已，这就意味着这一概念的教学需要重新塑造一个适合学生思维的教学过程，而以上的描述就是笔者的尝试，应当说这样的教学设计还是有一定的效果的.

总而言之，高中数学教学中体现过程性，其实就是让知识的发生过程更丰富一些，让学生的思维阶梯再合理一些.如此，无论是数学概念还是数学规律，都会真正融入学生的原有认知当中.

（责任编辑 黄桂坚）endprint