谈谈对《几何概型》的教学设计

庞博庆

[摘要]《几何概型》是新课改教材增添的新内容，研究其教学设计有现实意义.

[关键词]几何概型；古典概型；教学设计；游戏

我曾有幸参加了由广西教育厅主办的"2013年广西中小学教师教学技能大赛”，获得了一等奖.我上课的课题是《几何概型》.这节课是新课改教材增添的新内容.从选课题、备课、磨课、比赛，我感想很多，收获很大.下面我谈谈对《几何概型》的教学设计.

一、理论依据

本节课以自由建构主义基本理论为指导，以新课标五个基本理念为依据进行设计.几何概型的教学首先要使知识背景贴近学生实际.其次，要激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，切实改变学生的学习方式.

二、教材和学情分析

1.教材分析.“几何概型”是安排在“古典概型”之后的第二种概率模型，是对古典概型的进一步拓展.几何概型主要是把概率问题与几何问题结合起来，用数形结合的思路解决概率问题.学生通过学习，可以加深对随机现象的理解，消除日常生活中的一些错误认识，学会用科学的方法观察世界和认识世界.

2.学情分析.学生在高一已经具備了初步的数学建模意识，前一节课的学习使学生能够把一些实际问题转化为古典概型.在此基础上，结合游戏的设计来类比古典概型的知识，让学生通过对四个游戏实验的观察分析，提炼它们共同的本质，从而亲历几何概型的构建过程.在解决问题中，给学生寻找发现、讨论交流、合作分享的机会.

三、教学重难点

1.教学重点.掌握几何概型的判断和几何概型的计算公式.

2.教学难点.几何概型的判断及利用几何概型解题

四、教学过程

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为四个阶段：设计情境、引入新课，类比归纳、探究新知，学以致用、拓展思维，归纳小结、布置作业.具体过程如下.

（一）设计情境，引入新课

教师PPT出示如图1所示的沃尔玛迎国庆节促销活动的宣传单.

问题1：飞镖盘由两个半径分别为10 cm和20 cm的同心圆组成.现向圆盘投掷飞镖，假设飞镖都能射中圆盘，且射中圆盘上每一个点都是等可能的，则射中红色区域的概率是多少？

[师生活动]四个学习小组设计的飞镖游戏各不相同，结合多媒体演示、实物投影，学生进行了展示.

[设计意图]知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为下一个有效的知识.

各学习小组展示各自的设计并分析.

1.第一组展示设计并分析

（1）第一组所设计的游戏.游戏1如图2（a），将圆盘等分成四个扇形区域.假设飞镖射中圆盘上的每一个扇形都是等可能的，则射中红色区域的概率是1/4.

（2）第一小组学生分析.所设计的游戏是古典概型.因为飞镖等可能地落在这四个区域.整个实验共有4个基本事件，而射中红色区域只有一个基本事件，所以所求概率为1/4.

[设计意图]引导学生复习前面学习的古典概型的特点和计算公式.为启发学生用类比思想进行研究新的概率模型做铺垫.

（3）教师总结：从这个问题可以看得出，研究一个概率问题得先研究基本事件.这是研究概率问题的出发点.

2.第二组展示设计并分析

（1）第二组所设计的游戏.游戏2如图2（b），将圆盘等分成四个扇形区域.假设飞镖射中圆盘上的每一个点都是等可能的，则射中红色区域的概率是1/4.

（2）第二组学生分析.和第一组在设计上有所区别，本组强调的是“射中圆盘上的每个点都是等可能的”，而第一组强调的是“射中圆盘上的每个扇形都是等可能的”，这就导致了基本事件数的不同.第一组的基本事件数是4个，是古典概型，而我们所设计的游戏基本事件是无限个，不是古典概型.但可以用红色区域来代替无数个基本事件数.因此所求概率就是通过红色区域占整个圆盘的四分之一来求.

[设计意图]虽然图形一样，但所设计的游戏不同，这就是从根本上来研究古典概型和新的概率模型的区别.从而引起学生思维上的冲突，使他们主动、迫切地想研究新的概率模型.

（3）教师总结：第一组和第二组的区别在于基本事件数是有限和无限.第二组同学巧妙地用“区域面积”来代替了“无限多个点”，解决了不是古典概型的问题.

3.第三组展示设计并分析

（1）第三组所设计的游戏.游戏3如图2（c），飞镖盘由两个半径分别为10 cm和20 cm的同心圆组成.假设飞镖射中圆盘上每一个点都是等可能的，则射中红色区域的概率是1/4.

（2）第三组学生分析.其分析和第二组的一样，用区域面积来代替无数个基本事件，所求概率就是用小圆和大圆的面积比得到.

4.第四组展示设计并分析

（1）第四组所设计的游戏.游戏如图2（d），飞镖盘由两个半径分别为10 cm和20 cm的圆组成.假设飞镖射中圆盘上每一个点都是等可能的，则射中红色区域的概率是1/4.

（2）第四组学生分析.其设计和第三组一样，但其所求概率和红色区域的位置无关，只与面积比有关.

[设计意图]引发学生研究这两个游戏，让学生知道新概率模型问题的关键与红色区域的位置无关，新的概率模型的概率与红色区域的形状无关.

（3）教师总结：当遇到基本事件数是无限个的时候，可用区域面积来代替无限个基本事件.当阴影区域面积改变时，概率也跟着改变，概率与阴影区域的位置、形状无关.

问题2：如图3，取一根长度为3 m的绳子，将绳子拉直后，在绳子上随机选择一点，在该点处剪断.记“剪得的两段的长都不小于1 m”为事件A，那么事件A发生的概率是多少？endprint

问题3：如图4，假设有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率.

[设计意图]问题2和问题3分别是以长度之比、体积之比来求概率的.在这三个问题中，我们始终将对“基本事件”的分析作为解决概率问题的着眼点，进一步从等可能性和无限性两方面来区别古典概型与几何概型，深化学生对几何概型基本特征的认识.

（二）类比归纳，探究新知

思考：上面三个概率问题有什么共同点？

学牛比較分析，归纳总结，从中发现规律.根据学牛的归纳，教师类比古典概型的定义、特点、计算公式对几何概型的内容进行描述.

1.几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.

2.几何概型的特点

（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.

（2）每个基本事件出现的可能性相等.

（三）学以致用，拓展思维

[例题]下列概率问题中哪些属于几何概型？

（1）掷一枚骰子，求点数为奇数的概率.

（2）从一批产品中抽取30件进行检查，有5件次品，求正品的概率.

（3）某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.

[设计意图]进一步加深对几何概型概念的理解.学生回答第一、二个问题比较容易，第三个问题比较模糊.教师加以引导，让学生加以区分.判断第三个问题是几何概型.如何求其概率？可以从多少个角度来求？再次加深对几何概型的理解.再引导学生从角度、面积、弧长三个方面来求其概率.这能起到巩固和升华作用.

（四）归纳小结，布置作业

1.归纳小结.请学生谈谈对这节课的收获.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.

2.布置作业.

必作题：课本习题3.3A组1、2、3.

选作思考题：两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率.

[设计意图]1.让学生回顾、小结，将对学生形成知识系统产生积极影响；2.根据新课改的理念在作业上体现公平性，让不同层次的学生都得到充分的发展.

以上就是我对《几何概型》这节课的教学设计，肯定有很多的不足，望同行们指出不足！

（责任编辑 黄桂坚）endprint