数学模拟实验教学的内容与要求

摘 要现代的数学实验也称计算机模拟实验，是以计算机数学软件的应用为平台，模拟实验环境，结合数学模型进行教学的新型教学方法。采用计算机模拟实验能较好地解决需要大数据支持的“统计与概率”问题、需要“精准”实验的“综合与实践”问题等。

关键词数学实验教学 模拟实验 内容

数学实验是为了获得某种数学理论、检验某个数学猜想、解决某类数学问题，实验者运用一定的物质手段，在数学思维活动的参与下，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探索活动。根据实验手段的不同及产生的先后顺序，数学实验可以分成两大类：传统的数学实验和现代的数学实验。传统的数学实验是指用手工的方法，利用实物模型或数学教具进行实验，从中发现或解决数学问题的一种教学方法。现代的数学实验也称计算机模拟实验，是指以计算机数学软件的应用为平台，模拟实验环境，结合数学模型进行教学的新型教学方法。在义务教育阶段，大部分实验内容都可以采用传统的实验手段，但有些特殊内容，比如数学中需要“动态”呈现的“图形与几何”问题、需要大数据支持的“统计与概率”问题、需要“图像”表达的“代数函数”问题、需要“精准”实验的“综合与实践”问题等利用传统实验手段难以实现，但对于计算机模拟实验来说却轻而易举。下面以义务教育阶段苏教版数学教科书及其配套的《数学实验手册》为例，梳理其中宜采用计算机模拟实验的内容。

一、需要“动态”呈现的“图形与几何”问题

1.“运动过程的展现”问题

点、线、面、体是图形与几何知识的基础，“点动成线”“线动成面”“面动成体”不仅是学习几何知识的路径，也是帮助学生理解图形之间关联的重要线索。苏教版教科书中与“运动过程展现”有关联且宜采用模拟实验的“图形和几何”内容主要有：六年级下册第二单元“圆柱和圆锥”第18页第7题、第23页第9题；七年级上册第五章第二节“图形的运动”、第127页第2题、第128页第1题等。《数学实验手册》中与该知识点有关联且宜采用模拟实验的“图形和几何”内容主要有：七年级上册“实验11：图形的形成”等。

以七年级上册第五章第二节“图形的运动”教学为例，可以利用计算机完成以下三个模拟实验：一是点动成线，通过点动成线（直线），感受线是由点运动而形成；二是线动成面，通过线动成面（平面），感受面是由线运动而形成；三是面动成体，通过面动成体（圆柱、圆锥、球），感受体是由面运动而形成。三次实验结束后，让学生谈谈实验感受，旨在让学生通过模拟实验的操作，体验三维立体图形与二维平面图形之间、二维平面图形与一维图形之间、一维图形与点之间的关系，进而发展学生的空间观念。

2.“动点轨迹的追踪”问题

动点轨迹的追踪是根据动点的运动求出动点的轨迹，其实质就是将“形”转化为“数”，动点轨迹追踪问题研究有助于学生体悟数形转化的思想、方法以及技巧。苏教版教科书中与“动点轨迹追踪”有关联且宜采用模拟实验的“图形和几何”内容主要有：六年级下册第二单元“圆柱和圆锥”第123页思考题；九年级上册第四章第二节第60页练习“圆内接四边形的性质”。《数学实验手册》中与该知识点有关联且宜采用模拟实验的“图形和几何”内容主要有：七年级上册“实验4：垂线段最短”；九年级全一册“实验4：探究圆周角和圆心角之间的关系”等。

以《数学实验手册》九年级全一册“实验4：探究圆周角和圆心角之间的关系”为例，该实验是为教学苏教版教科书九年级上册第二章第四节“圆周角”而专门设计，本课以“测量——说理”为主线，主要包括三个计算机模拟实验：一是探究角度的变化。通过度量、比较两边都和圆相交且顶点分别在圆上、圆内、圆外三种情况角的度数，发现三种情况的角之间的大小关系。二是探究同弧所对圆周角与圆心角的关系。改变圆周角顶点的位置，发现同弧所对圆周角和圆心角的关系，在拖动顶点的过程中发现特殊位置和一般位置，并说明结论的正确性。三是探究圆内接四边形内角的关系。度量圆内接四边形的每一个内角，并拖动顶点，改变四边形的形状，发现圆内四边形内角的关系，并通过说理证明结论。

二、需要大数据支持的“统计与概率”问题

统计与概率是研究随机事件发生的可能性大小及其呈现出来的规律，统计与概率教学的有效途径是通过学生亲自实践、动手进行实验来体会统计思想和概率的意义。有的随机实验比较简单，传统的手工实验即可解决问题。但是，有的随机试验需要大量随机数，采用传统的手工方法不仅费时费力，而且如果重复次数过多，学生也会失去兴趣。因此，可以借助随机模拟实验代替重复操作，节约时间，提高兴趣。苏教版数学教科书中宜采用模拟实验的“统计与概率”内容主要有：三年级下册第九单元“数据的收集与整理（二）”第97页想想做做第1题“抛正方体游戏”与第100页练习十二第2题摸球游戏、四年级上册第六单元“可能性”、八年级下册第八章第三节“频率与概率”。《数学实验手冊》中宜采用模拟实验的“统计与概率”内容主要有：二年级下册“实验12：掷骰子游戏”、四年级上册“实验9：抛硬币游戏”、八年级下册“实验2：骰子游戏”。

以八年级下册第八章第三节“频率与概率”为例，教学内容是通过抛一枚质地均匀的硬币，感知正面朝上的频率在0.5左右。为了让每一位学生都经历实验并通过大数据验证结论的可靠性，本课可以采用传统实验与模拟实验相结合的方式进行以下三个实验。实验一：手工抛硬币实验。学生亲自动手抛硬币，每人10次，然后汇总小组与全班学生的试验结果，并计算正面朝上的频率，绘制出折线统计图。实验二：课中计算机模拟抛硬币实验。利用计算机编程设计模拟抛硬币的实验，学生可以模拟真实情景设置抛硬币的次数（如100次、200次甚至1000次等），每次抛硬币随机出现正面朝上或背面朝上，模拟实验完成后，学生汇总数据并绘制折线统计图，通过大数据统计发现，当实验数据越大时，抛硬币正面朝上的频率越接近0.5。实验三：课后计算机模拟抛硬币实验。出示教材第46页表1“统计学家历次做‘抛质地均匀的硬币试验的结果”，让学生通过观察，再次感知当试验次数很大时，“正面朝上”的频率在0.5附近摆动，同时要求学生课后可以利用计算机模拟实验验证统计学家研究结果的准确性。endprint

三、需要“图像”表达的“代数函数”问题

函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型，《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求“函数教学内容与呈现方式，应有利于学生掌握函数知识，有利于学生领会函数思想”，要为今后进一步研究一般函数和非代数函数（如三角函数、指数函数、对数函数等）积累方法和经验。代数函数（即函数表达式中只涉及加、减、乘、除、乘方、开方等代数运算的函数）是义务教育初中阶段重要的数学问题，主要包括一次函数、反比例函数、二次函数。苏教版数学教科书中宜采用模拟实验的“代数函数”内容主要有：八年级上册第六章第三节“一次函数的图像”、八年级下册第十一章第二节“反例函数的图像与性质”、九年级下册第五章第三节“二次函数的图像和性质”等。《数学实验手册》中宜采用模拟实验的“统计与概率”内容主要有：八年级上册“实验19：一次函数的图像”、八年级下册“实验13：验证反比例函数图像的对称性”、九年级全一册“实验8：二次函数图像的平移”等。

以《数学实验手册》九年级全一册“实验8：二次函数图像的平移”为例，为了让学生深刻理解二次函数图像平移的规律，可以利用计算机进行以下三个模拟实验。实验一：探究函数y=ax2和y=ax2+k的图像之间的关系。画出二次函数y=ax2、y=ax2+k的图像，通过改变a、k的值，动态研究二次函数y=ax2+k的图像与y=ax2的图像之间的上、下平移关系。实验二：探究函数y=ax2和y=a（x-h）2的图像之间的关系。画出二次函数y=a（x-h）2的图像，通过改变a、h的值，动态研究二次函数y=a（x-h）2的图像与y=ax2的图像之间的左、右平移关系。实验三：探究函数y=ax2和y=a（x-h）2+k的图像之间的关系。在实验一、二的基础上，画出二次函数y=a（x-h）2+k的图像，探究二次函数y=a（x-h）2+k的图像与y=ax2的图像之间的关系，进而得出这些二次函数的图像之间的平移规律。

四、需要“精准”实验的“综合与实践”问题

“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。义务教育阶段安排了大量与实验有关的“综合与实践”活动，如苏教版数学教科书七年级上册“设计包装纸箱”、八年级上册“确定藏宝地”、九年级下册“测量建筑物的高度”等。《数学实验手册》中三年级上册“找次品”、四年级上册“怎样滚得远”、五年级下册“车轮为什么做成圆形”、六年级下册“有趣的杠杆”等。这些“综合与实践”类实验有的对实验材料要求特别精密，有的对场地要求十分特别，还有的对实验过程要求特别严苛……这些特定或特殊的要求传统实验手段往往难以满足，我们可以尝试借助计算机模拟出电子化的实验材料或实验场景，确保实验能够严谨、规范、科学和精准地进行。

1.实验材料、场地特殊，传统手段难以提供

《数学实验手册》五年级下册“实验7：车轮为什么做成圆形”，教材上是用卡纸剪出圆形、正方形、椭圆等不同形状以代替车轮，再用铅笔戳在车轮的中心代替车轴，将卡纸做成的车轮放在直尺上滚动，在滚动过程中观察每个车轮车轴所在的点留下的痕迹。这样的设计从理论上完全可行，但由于车轮材质软、易变形，每次实验总会出现较大误差，而且因为学生车轴安装位置有偏差，所以实验中车轴在运动过程中的轨迹总是难以做到精准和完整。鉴于这种情况，在学生操作圆形车轮滚动平稳的基础上，首先引导学生思考以下问题：如果车轮做成正三角形、正方形、正五边形、正六边形等形状时，在平路上行驶时车轴运动的轨迹会是什么样？如果要想让正三角形、正方形、正五边形、正六边形的车轮行驶也很平稳，需要修怎样的路面？其次，让学生利用计算机模拟不同形状的车轮滚动，得到道路的图形。通过这样的计算机模拟实验，学生就会发现随着车轮边数的不同，道路图形也不同，车轮边数越多，道路越趋于平坦，从而进一步探索现实生活中车轮选择圆形的原因。

2.实验过程、方法严苛，传统手段难以满足

《数学实验手册》三年级上册“实验4：找次品”，教材上是准备正品和次品若干，让学生用天平称一称。但是，在实际操作中却经常出现以下几个困难：一是需要的实验材料数量较多，不便准备；二是由于教具天平或学具天平本身的精准度不够，而次品和非次品质量相差较小，用天平秤重时容易产生误差；三是因为受实验材料的限制，实验一般只能放在实验室或教室里进行，难以满足学生随时随地开展实验的想法。

为了解决上述实验困难，最大程度地降低误差对实验结果的影响，确保实验的科学性与精准度，我们采取了计算机模拟实验辅助教学。具体做法是：首先将次品、正品和天平等实验材料电子化。实验材料可以根据需求增加或减少，这样就能够有效地避免材料准备带来的繁琐与差错。然后将模拟过程程序化。为了让学生体验二分法、三分法在实际生活中的应用，我们将模拟过程分为探索性实验和验证性实验，探索性实验是在次品随机分布的基础上，让学生自由探寻找次品的方法；验证性实验是在次品随机分布的基础上，引导学生用二分法或三分法找次品，体验不同方法之间的差异和优越性。

计算机模拟实验是对传统实验教学的有益补充和发展，不仅可以发挥学生的主体作用，有利于培养学生的创新精神和发现問题的能力，而且可以转变教师的教育教学观念，有利于推进数学实验教学改革。然而，并不是所有的数学实验内容都适合采用计算机模拟实验进行教学，在实际教学中，作为教师要善于甄别，学会选择合适的内容。

参考文献

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[7] 邵光华，卞忠运.数学实验的理论研究与实践[J].课程·教材·教法，2007（3）.

[作者：张明红（1972-），女，安徽滁州人，江苏省南京市栖霞区教师发展中心副校长。]

【责任编辑 郭振玲】endprint