斜抛运动在空气阻力f=-kv情况下的研究

张金荣 张春秀

（云南省红河州个旧市个旧一中）

一、问题的引入

斜抛运动指的是物体以初速度v0斜着抛出，如果物体只受重力的作用，这时物体的运动叫斜抛运动，可以证明斜抛运动的轨迹是一条抛物线。若考虑空气阻力，斜抛运动的情形到底如何呢？我们以空气阻力满足f=-kv时，研究以一定的初速度v0斜抛小球，且v0与水平面上的Ox轴的正方向夹角为α，小球的运动规律。

二、理论推导

首先对小球受力分析，小球受到重力mg；空气阻力f=-kv，方向与速度方向相反，根据牛顿第二定律可得：

积分得

由于当t=0时，v0x=v0cosα，v0y=v0sinα化简得速度随时间的变化规律为

当t=0时，x=0，y=0对⑤⑥两式积分得

上述两式也是小球做斜抛运动时位移随时间的参数方程

消去方程中的时间t，可得小球在受空气阻力f=-kv情况下的轨迹方程

利用物理仿真实验室可绘制出小球在各时刻的轨迹图：

空气阻力系数取k=0.5，小球质量m=1kg，重力加速度g=10m/s2，斜抛初速度 v0=60m/s，抛出角 α=30°

由图像明显可看出：由于空气阻力的影响，小球的轨迹不再是一条抛物线，它的升弧和降弧不在对称，升弧较长而直伸，降弧短而弯曲.

讨论：

利用物理仿真实验室绘制vx-t和vy-t图，由图可以发现随着时间的推移水平分速度不断趋近于0；竖直分速度不断趋近于稳定，即小球竖直方向最终做匀速直线运动.

所以，可以得出结论：做斜抛运动的物体，当受到f=-kv的空气阻力作用时，物体最终水平方向的分速度趋近于0，竖直方向的分速度趋近于近似看作物体做竖直向下匀速直线运动。

由此，可以得出结论：在空气阻力的情况下，随着时间的推移，小球在水平方向会有一个最大位移

3.上升的最大高度即射高问题

若将小球上升的最大高度记作hmax，hmax满足此时的竖直分速度 vy=0，令 vy=0，解得

马文蔚.物理学［M］.北京：高等教育出版社，1999：48.